化简绝对值的再认识

化简绝对值的再认识

王健

兴文县太平初级中学校

  我是一名从教多年的乡村数学教师，从这些年的数学教学经历中发现，绝对值一直都是一个难点，学生不易掌握，有没有比较浅显易懂的方法把这个知识点教跟孩子们呢?下面就我的理解同大家分享一下。

一、 绝对值的概念部分

   在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值用“ |a|”来表示(a为原数)。。一个正数的绝对值是它的本身，零的绝对值是零，一个负数的绝对值是它的相反数。书上把它分成了三种情况，这是用具体的数字举例得出的结论。它带有一定的局限性。孩子们在做 ▏x-2 ▏=x-2 中x的取值范围时会搞错，常常会把x=2这种情况漏掉，而且不易改过来。为什么会是这样呢?我认为就是原本教材上的三种情况的结论影响了孩子们，在后面的总结中书上是 |a|=   而不是看成两类，及|a|=。

   我们要让孩子们一开始就知道去掉绝对值只有两种情况，这样孩子们会更容易理解，从而增强了他们学数学的信心，有助于学生数学素养的形成。还可以从绝对值是一个非负数这一性质入手来解决这一类型题。只看等式的右侧，直接令x-20 再解出着个不等式就可以了。这种方法有时还有立竿见影的作用，用好了效果很明显。

二、化简绝对值(去掉绝对值符号)

有两种情况：

利用数轴上的位置关系去掉绝对值。在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离，叫做a-b或b-a的绝对值，记作 |a-b|或|b-a|.若有多个这样的绝对值的化简很大一部分学生找不到入手点和突破口。其实他们都知道绝对值的定义，只是不能熟练地运用绝对值的性质进行化解。其实还是有规律可循的。

化简 ▏b-c ▏+ ▏a+b ▏- ▏c-a ▏

去掉绝对值符号，要先判断绝对值里面的代数式的值是非负数()还是非正数()，0是去掉绝对值的分界点，因为0的相反数是－0，－0＝0，也就是说0的绝对值等于它的相反数，归于，0的绝对值又是它本身，归于a。在数轴上看，两数相减时，右-左>0，归于a,去掉绝对值后不变符号。左-右<0，归于去掉绝对值要改变符号。两数相加时，分情况，同号两数相加利用加法原则得出判断，异号两数相加比两数到原点的长短。我们的考题中常常都是异号两数相加这种情况，负数长于正数<0，正数长于负数>0.

因为b-c<0 (左-右<0),a+b<0 (比长短，负长正短<0)，c-a>0 (右-左>0).

所以原式=-b+c+(-a-b)-(c-a)

        =-b+c-a-b-c+a  ＝-2b

看来只要掌握了方法，这类题还是不难的。

特别说明一下 当b-c<0 化简▏b-c ▏时我不主张最后结果变成c-b应为孩子们会注重两个字母位置的交换，而忽略掉了字母符合的改变，一个非正数去掉绝对值是它的相反数，变成相反数的实质是改变他们的符号。这才是去绝对值的本质。

     没有数轴化简绝对值。这种题型相比前一种题型要难西。因为这类题型最终还是要回到数轴上来。在数轴上找分界点有一定的难度。我们令绝对值里面的代数式等于零，得到一个方程，解这个方程得到一个值，再在数轴上标出这个值，这样就在数轴上找出了第一个分界点，用同样的方法找出所有的分界点。把数轴分成了若干段。再分若干种情况去掉绝对值。

化简 ︳2x-3 ︳- ︳x+5 ︳+▏3-x ︳

令2x-3=0   得x=    x+5=0  得x=-5    3-x=0  得x=3

把数轴分成了四段，分四种情况得出结论

a)当x<-5时  2x-3<0  x+5<0  3-x>0

原式＝-2x+3-(-x-5)+3-x

=-2x+3+x+5+3-x

=-2x+11

b)当-5时  2x-3<0  x+5>0  3-x >0

原式＝-2x+3-(x+5)+3-x

=-2x+3-x-5+3-x

=-4x+1

C)当0 3-x>0

化简结果同b)一样。

d)当x〈3时 2x-3>0 x+5>0 3-x<0

原式＝2x-3-(x+5)+(-3+x)

     =2x-3-x-5-3+x

     =2x-11

这类题主要是找分界点，用前面的方法去掉绝对值就可以了。

中学阶段还会出现一种题型，跟我们两个绝对值的和或差，当他们的值是一个常数或是一个定值时，求未知量x.还是用这种方法。先找分界点，分情况去掉绝对值，总有一种情况，最后结果不含未知量，而是一个常数(我们就说这种情况的值是一个定值)，所对应的值就是最后答案。                 

三 绝对值中的最值

▏x-1▏的几何意义是表示数x的点到1的距离。既然是距离就没有负数，单独的一个绝对值有最小值为0，没有最大值。单独的一个绝对值与一个常数之间的最值孩子们还是会做的。绝对值前面是正号时有最小值，绝对值前面是负号时有最大值。它们的最值都是等于另一个常数。  例如  ▏x -2 ︳+3有最小值 3 。－2+ ︳x+5 ︳有最小值－2 。绝对值前面是正号有最小值，最小值 就是另一个常数。－3－︳x+1 ︳有最大值－3。－︱x-2︱-1  有最大值－1.绝对值前面是负号有最大值，最大值也是另一个常数。

中学阶段还会出现两个绝对值的最值问题，孩子们可能就觉得有点难了。我们来看看真得很难吗? 还是有两种情况。

第一种情况  两个绝对值相加没有最大值，有最小值

我们来看 ▏x-1 ▏+▏x+3 ▏的最值是什么。我们令x-1=0得出x=1，x+3=0，x=-3.在数轴上把-3, 1标出来，这样一条数轴分成了三段。

a)x在-3的左侧时x到1的距离加上x到-3的距离大于-3与1之间的距离，x越往左移动时x到1的距离加上x到-3的距离会越来越大。因为数轴是一条直线x是可以往左无限移动的。说明两个绝对

值的和没有最大值。

  b) x在-3与1之间时x到1的距离加上x到-3的距离是一个定值。就是－3与1之间的距离。

   C）x在1的右侧时x到1的距离加上x到-3的距离大于-3与1之间的距离，x越往右移动到这两数的距离这和越来越大，同x在-3的左侧时的结果一样 。

所以得出结论 ▏x-1▏+▏x+3▏没有最大值，有最小值。最小值=右-左(大－小) 属于类。

第二种情况  两个绝对值之差及有最大值又有最小值。

我们来看 ▏x-1 ▏- ▏x+3▏的最值。还是在数轴上标出-3,1.数轴分成三段，分三种情况来结果。

a)x在-3的左侧时x到1的距离减去x到-3的距离是长减短是个正数就等于-3与1之间的距离。x往左移动时发现x到1的距离减去x到-3的距离都是长减短是个正数都等于-3与1得距离，是一个定值。我们可不可以大胆的猜想这个最值是最大还最小?再看下面。

b)x在-3与1之间时又有三种情况x在-3与1的中点左侧x到1的距离减去x到-3的距离都是长减短是个正数，在中点时到两点的

距离只差等于零。x在中点右侧时x到1的距离减去x到-3的距离是短减长是个负数。说明x越往右移动x到1的距离减去x到-3的距离在慢慢的变小

C)x在1的右侧时x到1的距离减去x到-3的距离是短减长是－个负数等于这两点之间的距离的相反数。及x往右移动时发现x

到1的距离减去x到-3的距离都是短减长是负数都等于这两点之间的距离的相反数，是一个定值。

所以得出结论

▏x-1▏- ▏x+3▏有最大值。右-左(大-小)属于。

   ▏x-1▏- ▏x+3▏有最小值。左-右（小-大）属于.

这类题主要是数型结和真正理解绝对值的含义。还是容易得出正确答案的。希望我的理解能帮道大家。