微分中值定理背后的法国数学家们

微分中值定理背后的法国数学家们

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江汉大学人工智能学院  湖北武汉 430056

摘要：本文详细介绍了一元函数微分学里的微分中值定理的历史演变过程，映射出定理背后的四位法国数学家费马、罗尔、拉格朗日和柯西所做出的杰出工作。关键词：高等数学，微积分，微分中值定理，连续，可导，开区间，闭区间。

前言

微分中值定理是一系列中值定理总称，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。微分中值定理，是微分学的核心定理，它反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数之间的桥梁，应用十分广泛。

一、费马引理

皮埃尔·德·费马(1601-1665），法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，被誉为“业余数学家之王”。

费马1601年8月17日出生于法国南部，家境富裕，启蒙教育良好，兴趣和爱好广泛。14岁时，费马进入公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。1631年费马毕业后，以律师为职业，并且当上了图卢兹议会的议员。费马的政绩一般，但是数学成就卓越。17世纪的法国，可以说还没有数学家可以逾越费马：他是解析几何的发明者之一；他对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨；他还是概率论的主要创始人；他独撑17世纪数论天地，其中众所周知的费马大定理，直到1995年才被英国数学家怀尔斯证明。此外，费马对物理学也有重要贡献，尤其是光学方面。一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。在微积分的方面，费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，并获得了费马引理。

费马引理 设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对于任意的，有或，那么。

     在费马定理的铺垫下，罗尔定理诞生。  

二、罗尔定理

米歇尔·罗尔（1652－1719），是法国数学家，代表作是《方程的解法》。

罗尔生于下昂贝尔，仅受过初等教育，依靠自学精通了代数与丢番图分析理论。1675年他前往巴黎，1682年因为解决了数学家雅克·奥扎南提出的一个数论难题而获得盛誉。1685年获选进法兰西皇家科学院，1699年成为科学院的Pensionnaire Géometre。罗尔是微积分的早期批评者，直到1706年，他充分认识到无穷小分析新方法价值，改变立场。1719年11月8日，罗尔在巴黎因中风逝世。

罗尔在代数学方面做过许多工作，曾经积极采用简明的数学符号如“=”、“”等撰写数学著作；研究并掌握了与现代一致的实数集的序的观念以及方程的消元方法；提出所谓的级联法则来分离代数方程的根。1691年，罗尔在论文《任意次方程的一个解法的证明》中指出：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。一百多年后的1846年，尤斯托.伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理。

罗尔定理 如果函数满足：

（1）在闭区间上连续，

（2）在开区间内可导，

（3），

那么在内至少存在一点，使得。

将罗尔定理的条件（3）去掉，获得适用范围更广泛的拉格朗日中值定理。

三、拉格朗日微分中值定理

约瑟夫·拉格朗日（1736-1813），法国著名数学家和物理学家，生于意大利都灵，卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，尤以数学方面的成就最为突出，全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。

拉格朗日17岁时迷上了当时迅速发展的数学分析，开始专攻。18岁时，他写了第一篇论文《关于两函数乘积的高阶微商》。1755年，19岁的他发展了欧拉所开创的变分法，当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。1764年和1766年，他两度获得法国科学院悬赏征文奖。1766年，他前往柏林，任普鲁士科学院数学部主任，开始了他一生科学研究的鼎盛时期。在此期间，他完成了《分析力学》，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。1783年，拉格朗日的故乡建立了"都灵科学院"，他被任命为名誉院长。1786年，他离开柏林，定居巴黎，1799年，法国完成统一度量衡工作，其中拉格朗日为此做出了巨大的努力。1791年，他被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构——法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。此后，他编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》。1813年4月3日，拿破仑授予他帝国大十字勋章，一周后拉格朗日去世。

拉格朗日微分中值定理 如果函数满足：

（1）在闭区间上连续，

（2）在开区间内可导，

那么在内至少存在一点，使得。

在拉格朗日中值定理的基础上，进一步修改条件和结论，升级到最一般化的柯西中值定理。

四、柯西中值定理

奥古斯丁·路易斯·柯西（1789-1857），法国数学家、物理学家、天文学家

。柯西在数学领域有很高的造诣，他的成果覆盖数学分析、代数、几何、常微分方程、函数论和概率论等等。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西准则、柯西分布等等。

柯西于1802年入中学，优异成绩，尤其是数学。他于1805年考入综合工科学校，主修数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业。1811及1812年，他向科学院提交了两篇论文，在数学界造成了极大的影响。1813年在巴黎被任命为运河工程的工程师。1816年，他先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。。1832-1833年，他任意大利都灵大学数学物理教授。1833～1838年，柯他担任波旁王朝波尔多公爵的教师。1838年他回到巴黎，参加科学院的学术活动。1848年，他担任了巴黎大学数理天文学教授，重新进行他在法国高等学校中断了18年的教学工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世时为止。

19世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支,，内容丰富，应用广泛。但与此同时，微积分的理论基础并不严格。以柯西为代表的的数学家们，进行了一场数学分析严格化的运动，夯实了微积分的理论基础。在此期间，柯西将拉格朗日微分中值定理进行了推广，使得微积分的理论体系更加完善。

柯西中值定理 如果函数和满足：

（1）在闭区间上连续，

（2）在开区间内可导，

（3）对于任意的，

那么在内至少存在一点，使得。

结束语

从费马引理开始，到罗尔定理、再到拉格朗日中值定理和柯西中值定理，大约200多年的时间跨度，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正是在这一发展过程中，逐渐认识到它们的内在联系和本质。让我们铭记他们！

参考文献

[1]同济大学应用数学系主编，高等数学上册（第七版），高等教育出版社，2006.

[2]M.克莱因，古今数学思想，上海教育出版社，1985.