MPCK视角下的连续型随机变量教学设计研究

MPCK视角下的连续型随机变量教学设计研究

李舒亮，史旭明

桂林航天工业学院 理学部，广西 桂林 541004

摘要：连续型随机变量是《概率论与数理统计》教学的重点和难点之一。本文从MPCK的角度对其教学过程进行合理设计，结合有关具体教学内容，从不同侧面分析连续型随机变量的MPCK内涵以及其学科知识和学科教学知识在课堂教学中的有机融合，并结合学生在学习中可能遇到的困难提出相应的教学原则，帮助学生形成完整的知识结构。

关键词：数学概念；MPCK；频率；密度函数

中图分类号：G451文献标识码：A

A Study on Random Variable of Continuous Type Teaching Design from the Perspective of MPCK

LI Shu-liang，SHI Xv-ming

1 引言

目前在概率论与数理统计的教学过程中，一般教学过程是按教师在课上讲授，学生被动听讲的模式来进行的。而且按照新的教学计划中，很多本科院校开设的概率论与数理统计课程的学时都有不同程度的减少，但大纲的内容并没有相应减少。还有，大学扩招后学生数学基本功底较以前有所下降，学生在掌握大学数学知识、抽象思维能力等方面的差异性很大，这给大学数学教师提高自身教学水平带来了严峻的挑战。

1986年，Shulman教授提出[1]，教师除了应具备一般教学法知识与学科知识外，还必须在教学过程中掌握一种新的知识即学科教学知识，其定义为“教师的个人教学经验、教师学科内容知识和教育学知识的特殊整合”。

黄毅英等[3]认为数学教师从事数学教学应具备数学学科知识（Mathematical Knowledge，简称 MK）、一般教学法知识（Pedagogical Knowledge，简称 PK）、有关数学学习的知识（Content Knowledge，简称 CK），才能把科学形态的数学知识有效转化为教育形态的数学知识，促进学生的数学理解、提髙学生的数学能力和提升学生的数学素养。而这3类知识的综合与融合就是数学教学内容知识[3,4]（Mathematical Pedagogical Content Knowledge，简称MPCK），即数学教师从事数学教学所应具备的核心知识。

2数学概念教学中MPCK内涵分析

数学概念[5]是现实中某一数量关系和空间形式在人的大脑思维中的反映，是进行数学思维的基本元素。因此，教师要从MK、PK、CK的三个角度开展教学活动，做学生学习大学数学知识的领航员。

从MK的角度讲，教师应具有系统的数学学科知识，主要包括数学观念、数学学科内容知识、数学思想方法以及数学史知识。在概念教学中，教师应做到：①理解概念的内涵和外延；②找到概念产生的背景，创设概念产生的情境；③挖掘蕴含在数学概念中的数学思想方法，引导学生应用概念解决一些简单的实际问题；④抓住数学概念之间的联系，帮助学生建立结构严谨的数学概念体系。

从PK的角度讲，教师应选择恰当的教学方法实施课堂教学，主要包括教育观念、教育理论知识、课程知识以及教学知识方面。一般可按如下步骤进行数学概念的教学：①从数学知识发展需要和实际生活引入数学概念；②让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的各种本质属性；③提炼给定概念的本质属性，并由教师归纳出精确定义；④明确概念的内涵和外延；⑤通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解。在具体的教学过程中，可以调整或整合这些步骤来呈现概念的形成过程。

从CK的角度讲，教师应了解所教学生的认知情况、学习能力和学习风格，比如学生发展的知识、学生学习的认知因素与非认知因素知识以及学习环境的知识。应注意学生数学认知结构中的个体差异，确定对学生而言的概念教学难点，因地制宜、因生而异地开展课堂教学活动，帮助学生理解概念、应用概念。此外还要关注在概念教学中学生参与程度、合作交流行为、情感态度的发展及学生的数学思维状况等学习过程的评价。

3 教学案例设计

（1）简介产生的背景

连续型随机变量的特点是它的可能取值连续地充满某个区间甚至整个数轴.例如，测量一个工件长度，因为在理论上说这个长度的值X可以取区间（0，+∞）上的任何一个值.此外，连续型随机变量取某特定值的概率总是零（关于这点将在以后说明）.例如，抽检一个工件其长度X丝毫不差刚好是其固定值（如1.824cm）的事件{X=1.824}几乎是不可能的，应认为P{X=1.824}=0.因此讨论连续型随机变量在某点的概率是毫无意义的.于是，对于连续型随机变量就不能用对离散型随机变量那样的方法进行研究了.

（2）创设问题情景形成描述性定义

为了说明方便我们先来看一个例子.

例  一个半径为2米的圆盘靶，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数.

评析：从

MK的角度看，本环节的目的是让学生直观感知“连续型随机变量”的内涵：可能取值连续地充满某个区间。首先体会连续型随机变量在实际问题中的应用广泛，同时形成描述性定义。

从CK的角度看，根据认知心理学理论，学习者通过新旧概念知识经验反复的双向的相互作用。一方面，学习者以原有的概念知识系统为基础对新的概念进行编码，形成自己的理解；另一方面，新概念的进入又对原有的概念知识系统进行调整和改变。从已学知识引入不仅为新概念的学习创设情景，也使新旧概念知识之间建立起有机的联系，形成一个完整的概念知识体系。因此，从实际问题和复习旧概念知识都是创设问题情景以便引入新概念的有效方法。从以往教学经验发现，大多数学生对连续型随机变量的理解停留在“细化频率直方图”上，对“密度函数”的内涵没有深刻认识，上述例子帮助学生纠正了对连续型随机变量的片面理解。

从PK的角度看，情境设置可以帮助学习者在建构新概念时激活背景图式。上述例题中教师提供解决问题的原型，并指导学生探索，建立数学模型，而不是直接将已准备好的内容教给学生。这样由具体的问题情境引入新概念的设计，既渗透了数学建模的思想，又了解导数概念的实际背景及作用；再通过板书或者课件演示，使学生对连续型随机变量有了初步的认识。

（3）探索与体验：形成严格定义

定义   若对随机变量X的分布函数F（x），存在非负函数f（x），使对于任意实数x有

F（x）=，                   （*）

则称X为连续型随机变量，其中f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数(Density function).

评析：从MK的角度看，本环节的目的是让学生从直观感知的内涵过渡到抽象概括的内涵，并用符号表示概念，完成对连续型随机变量的第二次认识，形成严格定义。

从CK的角度看，学生通过第一环节的学习已经了解连续型随机变量与实际生活的联系，并在旧有概念知识的基础上，通过直观感受形成了描述性定义。但是要建立其的严格定义还是困难重重，因为把具体的、直观的例子抽象化和符号化对刚进入大学的学生来说难度较大，因此连续型随机变量的概念在后继学习中还需要经常强调，加深印象。

从PK的角度看，要使新概念得到有效合理的建构，还有赖于学生积极主动的探索和思考。教师可以设计引导学生思考的问题情境，让学生积极思考、自主探究，并对已有知识进行迁移，从而化解难点，初步建构起新的概念认知结构。

本环节加深了学生对概念中的术语的理解，通过从特殊到一般，从具体到抽象的探究过程，最后归纳形成导数的严格定义。

（4）延伸与应用拓展：深化理解

由（*）式知道连续型随机变量X的分布函数F（x）是连续函数.由分布函数的性质F（∞）=0，F（+∞）=1及F（x）单调不减，知F（x）是一条位于直线y=0与y=1之间的单调不减的连续（但不一定光滑）曲线.

由定义知道，f（x）具有以下性质：

1°f(x)≥0；

2°=1；

3°P{x1＜X≤x2}=F(x2)F(x1)= (x1≤x2)；

4°若f(x)在x点处连续，则有F′(x)=f(x).

由2°知道，介于曲线y=f（x）与y=0之间的面积为1.由3°知道，X落在区间（x1，x2］的概率P{x1＜X≤x2}等于区间（x1，x2］上曲线y=f（x）之下的曲边梯形面积.由4°知道，f（x）的连续点x处有

f（x）=

这种形式恰与物理学中线密度定义相类似，这也正是为什么称f（x）为概率密度的原因.同样我们也指出，反过来，任一满足以上1°、2°两个性质的函数f(x)，一定可以作为某个连续型随机变量的密度函数.

前面我们曾指出对连续型随机变量X而言它取任一特定值a的概率为零，即P{X=a}=0，

由此很容易推导出

P{a≤X＜b}=P{a＜X≤b}=P{a≤X≤b}=P{a＜X＜b}.

即在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，可不必区分该区间端点的情况.此外还要说明的是，事件{X=a}“几乎不可能发生”，但并不保证绝不会发生，它是“零概率事件”而不是不可能事件.

评析：从MK的角度看，从一个概念的延伸出另外的新概念就意味着对原来概念的更深层理解，真正完成了对原有概念的掌握。因此，本环节的目的是：①引导学生利用离散型随机变量延伸出新的连续型随机变量概念。

从CK的角度看，学生的认知是需要教师引领、开启、拓展的。建构主义的认知灵活性理论指出，对新概念的深入理解是通过运用超越已有概念所提供的信息而建构成的，一方面是对新概念的意义的建构，同时又包含对原有概念的改造和重组。才能使学生对知识有进一步深刻、全面的理解，并与具体情景联系起来，形成背景性经验，有利于知识的迁移，在面临新的情境时，能够灵活地建构起用于指导活动的图式。

从PK的角度看，概念教学要回到实际应用中，让学生认识到概念并不是枯燥的课本知识，而是为我们提供理论方法和解题思路，同时也是计算证明的依据。概念的延伸与应用还能促进概念的内化和深化，使得学生不仅掌握陈述性知识，还能体会概念应用过程中蕴含的数学思想、方法

，逐步掌握程序性知识和策略性知识。本环节采用多层次、多角度的变式训练方式，由易到难，梯度明显；激发了学生探究、思考的兴趣，并灵活应用导数概念解决实际问题，为后续概率论课程学习打下坚实的基础。

4 MPCK视角下连续型随机变量教学应遵循的教学原则

（1）连续型随机变量的概念发展优先于技巧训练，课堂上主要帮助学生更好地理解。

（2）通过本原性问题引入连续型随机变量概念。

（3）通过图形、数值、形式化等多种方式呈现连续型随机变量。

（4）鼓励学生用连续型随机变量及其蕴含的思想方法解决实际问题。

同时为了让学生更好的理解，教师应在教学中努力做到如下几点：

（1）充分了解学生的原有概念知识经验背景。

（2）创设教学中的认知冲突，引发学生对连续型随机变量学习和探究的兴趣。

（3）在开放性的课堂气氛中，通过讨论分析，使学生调整原来的看法，形成新观念。

5 小结

MPCK 案例研究是从教师个人的实践角度去理解数学概念教学理论的一次学习过程，沟通数学教育理论与数学教育实践的桥梁，为教师提供了理解“实践情境”的机会。因此，加强MPCK案例研究有助于教师形成实践反思能力，构建起个人的专业理论与知识，学会诊断和解决教育教学中出现的问题以及研究问题和解决问题的技能。本文从MPCK的角度来进行连续型随机变量定义的教学设计，从课堂教学的视野出发，结合有关连续型随机变量定义的教学具体内容，从不同侧面分析连续型随机变量定义的MPCK内涵以及连续型随机变量定义概念的学科知识和学科教学知识在课堂教学中的有机融合，并结合学生学习连续型随机变量定义可能遇到的困难提出相应的教学原则。

参考文献

[1]Shulman L. S., Those who understand knowledge grow thin teaching[J]. Educational Researcher,  1986,15(2):414.

[2]黄毅英, 许世红. 数学教学内容知识—结构特征与研发举例[J]. 数学教育学报, 2009, 18(1): 5-9.

[3]陈子蔷, 胡典顺, 何穗. 中国目前 MPCK 研究综述[J]. 数学教育学报, 2012, 21(5): 15-18.

[4]张红, 孙立坤, 李昌勇. 高观点下的初等数学与数学教师 MPCK 的优化案例剖析[J]. 数学通报, 2009, 48(7):22–25.

[5]匡继昌. 如何理解和掌握数学概念的教学实践与研究[J]. 数学教育学报, 2013, 22(6): 74-78.

作者简介：李舒亮，男，甘肃秦安人，硕士；研究方向：高频金融数据统计。

史旭明，男，山西稷山人，工程师，硕士。研究方向：非线性统计。

 基金项目：桂林航天工业学院教改项目《互联网+时代高等数学教师MPCK调查与案例研究》（2016JB06）。

 作者简介：李舒亮，男，甘肃秦安人，硕士。研究方向：高频金融数据统计。

 基金项目：桂林航天工业学院教改项目《互联网+时代高等数学教师MPCK调查与案例研究》（2016JB06）。

 作者简介：李舒亮，男，甘肃秦安人，硕士。研究方向：高频金融数据统计。