细数“解三角形”的千丝万缕——高中数学解三角形试题分析及教学策略

细数“解三角形”的千丝万缕——高中数学解三角形试题分析及教学策略

王国喜

湖北省十堰市第一中学

作为最基础的几何图形，在小学时期便能发现三角形的身影，虽然三角形从小学到高中一直伴随在学生身边，但每个阶段的学习内容都有所不同。高中数学对三角形的考察着重在正余弦定理和边角关系的转换、面积的求解以及最值问题，这些都是学习和教学的重点。

一、巧解三角形边角关系

最常见的解三角形题型偏向于边角之间的转换，一般可以总结成已知两角一边、已知两边和夹角、已知两边和其中一对角以及已知三边求解三角形的其他剩余条件，此时运用正余弦定理解题可以帮助降低题目的难度，提升解题效率。

例1，在△ABC中，已知a=2,b=4,c=2,求解三角形.

思考：本题属于已知三角形三边求角度类型问题，此时余弦定理更适合求解三角形。

解析：根据余弦定理，可得cosA===

∵＜A＜，∴A=30°

根据余弦定理，可得cosB===0

∵＜B＜，∴B=90°

根据三角形内角和定理可得，C=180°-(A+B)=180°-120°=60°

综上所述，A=30°，B=90°，C=60°

注意：余弦定理几乎可以运用在三角形边角转换的所有类型中，但少部分情况会使题目更加复杂，因此需要师生特别关注。

二、妙求三角形面积问题

从小学的三角形面积公式进阶到高中三角形面积公式，本质虽没有改变，但其难度提高了很多个档次。求解三角形面积时，不仅要巧妙使用正余弦定理，还应关注“1=”的运用转变。

例2，在△ABC中，已知sinA+cosA=，AC=2,AB=3,求tanA的具体值和△ABC的面积.

思考：本题求解△ABC的面积，已知三角形其中两边和夹角的关系，只要求出sinA的具体值即可得到答案。

解析：由sinA+cosA可以计算对偶关系sinA-cosA的具体值

∵sinA+cosA= ①，∴=

∴2sinAcosA=-

∵＜A＜，∴sinA＞0，cosA＜0

∵=1-2sinAcosA=

∴= ②

由①+②式可得sinA=，由①-②式可得cosA=

∴tanA==×=-2-

∴=AC×AB×sinA=×2×3×=()

三、轻解三角形取值问题

解三角形还有另一类题型，即最值和参考范围问题，这些往往与不等式、向量和三角函数有着密切的联系，因此解题还需掌握不等式、三角函数以及平面向量的基本性质和公式。

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=，a=4，

(1)若b+c=6,且b＜c，求b、c的值；(2)求△ABC面积最大值；

思考：本题第一问已知cosA和a，可以选择正弦定理或余弦定理解题，第二问则需要和不等式结合解决问题。

解析：(1)由余弦定理=+-2bccosA可得16=-2bc-bc

∴bc=8 ①

∵b+c=6 ②, 且b＜c

联立①②式可得，b=2、c=4或b=4、c=2（舍弃）

∴b=2、c=4

(2)由余弦定理=+-2bccosA可得，16=+-bc

∵+≥2bc

∴bc≤，又∵sinA=

∴ABC=bcsinA≤××=

即当b=c时，△ABC有最大面积值，为

注意：求解三角形面积最值时，基本不等式的利用可以帮助学生更简单地解决问题，应该引起重视。

例4，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知b=2asinB,

0°＜A＜90°；(1)求角A的大小；(2)若a=6，求b+c的取值范围

思考：本题第一问属于简单题，直接求解即可，第二问中需要运用边角对应关系以及三角函数的知识求解。

解析：(1)∵b=2asinB，∴sinB=2sinAsinB，∴2sinA=，sinA=

∵0°＜A＜90°，∴A=

(2)∵a=6,sinA=,∴===，

∴b=sinB，= sinC= sin()= sin()

∴b+c=sinB+ sin()=(sinB+ sincosB-cossinB)

=cosB+sinB=sin(B-)

∵0＜B＜，∴-＜B-＜

∴sin(B-)∈(-，)

∴b+c∈(-，)

总之，解三角形试题常见于边角转换、面积求解以及取值范围等类型，可以和许多其他章节知识内容联合解决。在解题过程中，还应该注意到三角形的一些基础知识，以免出现小差错。