基于GeoGebra的初中数学探究性学习的教学实践课———探索函数y=ax +bx+c的系数a，b，c 与图像的关系

基于GeoGebra的初中数学探究性学习的教学实践课———探索函数y=ax +bx+c的系数a，b，c 与图像的关系

霍秀爽

河北省平乡县第一中学  054500

关键词：探究性学习  GeoGebra  函数教学  初中数学

《义务教育数学课程标准(2022 年版)》指出:学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 而探究式的课堂恰好是能让学生经历上述几种活动过程的课堂模式。

探究学习的素材从何而来? 初中数学教材中有一类素材往往没有引起教师的重视，那就是“阅读材料”。下面我以人教版教材《数学》九年级上册“阅读材料：探索函数y=ax2 +bx+c的系数a，b，c 与图像的关系”为例，探讨如何利用GeoGebra 软件进行探究性学习的教学实践。以下是这节课的部分教学实录以及笔者的一些反思。

一、  教学片段

1.1  探究1

师：本节课我们借助 GeoGebra 软件探索函数y=ax2 +bx+c 的系数 a，b，c 与图像的关系。 首先需要建立3 个参数滑动条，如在输入框中分别输入“a=1，b= －2，c = 3”按回车键，接着再输入“y=x^2+b* x+c”按回车键，在代数区和绘图区将有相应的滑动条和图形等显。

师:只拖动参数a 的滑动条，你能发现图像的变化规律吗? 只拖动参数c 的滑动条，你能发现图像的变化规律吗?

生1:拖动参数 a 的滑动条，我发现 a 决定抛物线开口的方向． 当a＞0 时，开口朝上;当a＜0 时，开口朝下(规律1)。

生2:拖动参数 a 的滑动条，我发现当| a |越大，抛物线的开口越小(规律2)。

生3:拖动参数c 的滑动条，我发现c 决定了抛物线与y 轴的交点位置。当c＞0 时，抛物线与y 轴交于正半轴;当c=0 时，交于原点;当c＜0 时，交于负半轴(规律3)。

通过GeoGebra 的演示，代数区的解析式和绘图区图形的结合，学生们很快就达成对上述3 个规律的共识。但是如果探究式的学习仅仅止步于此，显然认识还是过于肤浅了。于是笔者接着引导学生思考如下问题：

问题1  我们知道了当a＞0 和a＜0 时的抛物线的开口方向，那么当a=0 时的图像呢?

这个问题虽然比较简单，但对于学生分类思想的培养来说是必不可少的。通过探究1 的活动，学生能非常直观地感受系数a，c 与图像的关系。教师也可引导学生尝试自己动手创建其他具体例子并对照图像加以观察，这样做有两个作用:一方面，可以让学生模仿笔者上述的制作过程熟悉软件中最基本的按钮操作;另一方面，可以让学生从多个具体的例子中感知一般性规律的存在性。

1.2  探究2

师：继续研究系数a，b，c(其中a≠0)对图像的影响。大家先说说看，可以研究抛物线的哪些特征?回忆一下我们曾经研究过图像的哪些性质?

生4:对称轴的位置、与 x 轴的交点情况还有顶点的坐标位置情况等。

师:那么请大家尝试自己提出一个有关上述特征与系数a，b，c 之间关系的问题，并尝试解决。

在这个环节，笔者给予充分的时间，让学生进行小组合作讨论。结合GeoGebra 的演示，学生获得了如下规律的猜想并加以证明。

生5:我们发现，当a 与 b 同号时，对称轴在y轴左侧;当a 与b异号时，对称轴在 y 轴右侧;当b=0 时，对称轴为y 轴。

生6：a，b， c 共同决定判别式Δ = b2－4ac 的符号，进而决定图像与 x 轴的交点情况。当 Δ＞0 时，图像与 x 轴有两个交点;当 Δ = 0 时，只有一个交点;当Δ＜0 时，没有交点。

1.3  探究3

正当大家沉浸在得出规律的喜悦之中时，生7举手示意要发言。

生7:刚才我们研究了 a 对图像的影响以及c对图像的影响，那么b 对图像有什么影响呢，是不是可以研究一下?

一石激起千层浪，学生对这个问题有点茫然，不一会儿就有学生说:“可以用GeoGebra 演示一下看看啊。”笔者让学生自己尝试制作，经过一番尝试，有学生举手示意已经会了，笔者让其将制作过程与大家分享。

师：为了能更清楚地看出b 对图像的影响，可以观察抛物线的轨迹路径。在绘图区的图像中右键点击抛物线，并选择点击“跟踪”，接着让参数条a，c 不动，拖动参数 b 的滑动条，抛物线的轨迹路径就可以很直观地显示出来了。

这时，有几个学生举手想发言了。

生8：我感觉当 b 变化时，抛物线的顶点位置发生了改变，并且顶点运动的轨迹好像在一条抛物线上。

直觉告诉我们，生8 的猜想是对的，那么怎么创建顶点的轨迹跟踪呢? 接着笔者与学生一起“跟踪”抛物线的顶点。

师：为了获得抛物线的跟踪显示，首先需要在图像中找到顶点的位置。可在输入框内输入“P=(－b/(2a)，(4ac－b^2)/(4a))”并按回车键,此时在绘图区中就显示了顶点P，接着分别右键点击图像与点P 并选择“跟踪”键，然后拖动滑动条b，就可以观察了。

师:通过画图进一步感知猜想的正确性，接下来就是如何求顶点的轨迹，即抛物线的解析式了。

对于初三的学生来说，因为求轨迹的解析式涉及到参数方程的消参方法，所以是有一定难度的。若是直接跳过不说理，学生们会有点糊涂，因此笔者降低了问题的难度，提出了如下两个问题:

问题2  若抛物线解析式为 y = ax2+bx+1，求其顶点P 的坐标。

问题3  求顶点 P 的轨迹曲线所满足的解析式。

对于问题2，学生都能够用b来表示顶点P的坐标(,)。对于问题3，笔者先启发引导。

师:若设P(x，y) ，则要求曲线所满足的解析式就是求y 关于 x 的关系式。而 x，y 都是用 b 表示的，该如何求关系式呢?

生9:就如同解方程组一样，可以消去b。由x =可得b = －4x，将它代入y = ，便可得y =－2x2+1。说明顶点P 的轨迹是一条抛物线。

生10:看原抛物线解析式与顶点的轨迹抛物线解析式，我发现它们的二次项系数是互为相反数，而且常数项相等。于是猜想如下:

猜想1  对于一般的抛物线y =ax2 +bx+c(a，b，c 为确定常数，b 变化时)，该抛物线的顶点轨迹必定是一条抛物线，其解析式为y= －ax2+c。

有了上面的问题2 和问题3 的解答，学生都能进行类比，顺利解决生10 提出的猜想1。

师：你还能类比上述猜想 提出其他的问题或猜想吗?

生11:提出问题4和问题5。

问题4  对于一般的抛物线y =ax2 +bx+c(a，b，c 为确定常数，c 变化时)求抛物线的顶点轨迹解析式 。

问题5  对于一般的抛物线y =ax2 +bx+c(a，b，c 为确定常数，a 变化时)求抛物线的顶点轨迹解析式。

有了前面的铺垫，学生大多能快速地得到:问题4 的顶点轨迹为一条直线，解析式为x =;问题5 的顶点轨迹为一条直线，解析式为y= x+c。最后师生一起利用GeoGebra软件演示顶点的轨迹，从而更加直观地感知上述两个问题的结论。

二、 几点体会

2.1 如何选择并组织探究性学习的素材

如何选择适合学生进行探究的素材是一线教师需要重视的问题。教材中的例题、习题等都可以成为素材，关键在于教师该如何组织这些素材并且进行再创造，设计出适合学生的探究活动。本节课，笔者在教学中以学生熟悉的“二次项系数的正负性影响抛物线的开口方向”这一性质出发，一步一步过渡到研究“一次项系数、二次项系数对图像的影响”，再到“3个系数共同作用下对图像的影响”,难度逐渐升级，学生的探究欲望也逐步被点燃。
2.2  借助GeoGebra软件，演绎数形结合

借助 GeoGebra 代数区的方程、点的坐标与绘图区的几何图像的同步变化，让学生能更直观地感受数与形的完美结合；利用数学图像动态的生成的全过程，如跟踪点或线的轨迹功能，不仅激发了学生探究的兴趣，而且降低了探究的难度，甚至可以直接猜想探究的"目标"结论，这样就可以大大提升探究性学习的效率。
2.3  基于信息技术下的探究性学习

本文利用 GeoGebra 软件进行了一次比较有效的探究活动。在探究性的课堂中应经常设置由学生提出问题，把思考的主动权给予学生；在学生完成初步猜想时，笔者接着引导学生借助 GeoGebra 软件感受猜想的正确性，最后完成证明的过程。这既充分尊重了学生在课堂上的主体性，又能让学生体会借助几何软件研究数学问题的直观性。

（备注：基金项目：本文系邢台市教育科学“十三五”规划一般课题《GeoGebra软件在初中数学教学中的应用研究》》（课题编号： 2001277）成果。）

[1] 基金项目：本文系邢台市教育科学“十三五”规划一般课题《GeoGebra软件在初中数学教学中的应用研究》》（课题编号： 2001277）成果