基于Python实现风险中性和无风险套利的运用（期权定价模型）

基于Python实现风险中性和无风险套利的运用（期权定价模型）

肖宇鸿

上海大学

摘要

金融衍生工具的定价问题一直是金融衍生品领域中重点研究的热点问题之一，因为投资者在金融市场上进行衍生品交易时，一个合理的定价是非常重要的。而在所有金融衍生工具定价中，期权定价最为复杂。目前基本上为人熟知的B-S期权定价模型和二叉树模型作为两大主流期权定价模型，可谓在期权定价领域具有里程碑意义。

在进行对金融工具定价过程中，无套利原理和风险中性定价原理是使用金融资产定价的基础，本文就基于这两个理论对期权定价进行探究，并且利用Python实现。

B-S期权定价模型和二叉树模型作为两大期权定价方法，在理论和实际应用上有所差异，运用两种期权定价模型的效果也有所差异。

本文详细阐述了B-S期权定价模型理论基础，还说明了二叉树模型的基本运用方法；最后用Python编程语言实现了两个模型的定价计算。由于二叉树模型会因为其选择步数的不同而使最后的价格发生变化，因此做了二叉树模型步数不同时计算的期权价格与B-S计算价格的比较，最后得出二叉树模型，随着步数的增加计算的期权价格会更加精确，与B-S模型计算的期权价格趋于一致。

关键词：无套利原理，风险中性原理，B-S，二叉树，Python

一．绪论

（一）研究背景

期权交易起始于十八世纪后期的美国和欧洲市场。由于制度不健全等因素影响，期权交易的发展一直受到抑制。19世纪20年代早期，看跌期权/看涨期权自营商都是些职业期权交易者，他们在交易过程中，并不会连续不断地提出报价，而是仅当价格变化明显有利于他们时，才提出报价。这样的期权交易不具有普遍性，不便于转让，市场的流动性受到了很大限制，这种交易体制也因此受挫。

直到1973年4月26日芝加哥期权交易所（CBOE）开张，进行统一化和标准化的期权合约买卖，上述问题才得到解决。期权合约的有关条款，包括合约量、到期日、敲定价等都逐渐标准化。

1983年1月，芝加哥商业交易所提出了S&P500股票指数期权，纽约期货交易所也推出了纽约股票交易所股票指数期货期权交易，随着股票指数期货期权交易的成功，各交易所将期权交易迅速扩展至其它金融期货上。

自期权出现至今，期权交易所已经遍布全世界，其中芝加哥期权交易所是世界上最大的期权交易所。

20世纪80年代至90年代，期权柜台交易市场（或称场外交易）也得到了长足的发展。柜台期权交易是指在交易所外进行的期权交易。期权柜台交易中的期权卖方一般是银行，而期权买方一般是银行的客户。银行根据客户的需要，设计出相关品种，因而柜台交易的品种在到期期限、执行价格、合约数量等方面具有较大的灵活性。

（二）国内期权发展

2015年2月9日，上证50ETF期权于上海证券交易所上市，是国内首只场内期权品种。这不仅宣告了中国期权时代的到来，也意味着我国已拥有全套主流金融衍生品。

2017年3月31日，豆粕期权作为国内首只期货期权在大连商品交易所上市。

2017年4月19日，白糖期权在郑州商品交易所上市交易。

2018年9月25日，铜期权在上海期货交易所上市交易。

2019年开始，国内期权市场快速发展，权益类扩充了上交所300ETF期权，深交所300ETF期权和中金所的300股指期权，商品类期权陆续有玉米、棉花、黄金等十多个品种上市。

2022年7月29日，证监会宣布批准大商所自2022年8月8日起开展黄大豆1号、黄大豆2号及豆油期权交易。同时，大商所正式发布黄大豆1号、黄大豆2号和豆油期权合约及上市交易有关事项的通知。

（三）文献综述

期权定价方法很多，但是一般可分为解析法和数值方法。解析方法是直接通过求解方程，得到期权价格；数值方法是通过数值算法来求期权价格。

最早的期权定价模型1900年Bachelier他的博士论文中提出来的，给出了解析解。在文中，他对布朗运动给出了严格的数学描述。但是，在他的模型中，假设股票价格服从布朗运动脱离实际，他的工作在相当长的时间内也没有得到足够的重视。在1961年，普里克尔(Sprekle)假设股价服从具有固定均值和方差的对数分布，得到了一个定价公式。但是在这个模型中，没有考虑货币的时间价值。最为经典的期权定价公式是1973年由Fisher black和Myron Scholes在‘The Pricing of Options and Corporate Liabilities’中提出来的Black-Scholes公式。该方法能够得到期权价格、风险参数、杠杆效应等解析表达式，可以为交易策略提供定量的结论。这种期权定价方法是期权定价理论的一个伟大的创举。之后，莫顿等几位学者又对这一模型进行了改进，使得其适用范围更广。但是这个模型的不足是只能得到欧式期权的解，也不能处理一些复杂的依赖历史路径的期权定价问题。

John C.Cox、S.A.Ross和Mark Rubinstein在‘Option pricing:a simplified approach’一文中提出来的二叉树方法是一种经典的数值方法。之后，不同学者提出了蒙特卡罗模拟方法、有限差分方法、确定性套利方法、套利定价方法、区间定价方法等数值计算方法。

1990年，Pardoux和Peng给出了倒向随机微分方程在非线性情况下的框架，随后，Peng和Feynman-Kac将公式推广到非线性的，建立了偏微分方程理论和倒向随机微分方程理论的联系。1994年，法国学者Kl Karoui发现导向随机微分方程可以解决许多衍生产品的定价问题。倒向随机微分方程可以看成是Black-Scholes模型和许多修生模型在内的多个模型的推广，近年来得到了广泛的研宄，并且应用到期权定价和风险度量中。

二．期权介绍

（一）期权的定义

期权交易是权利的交易，持有人在确定时间，按确定价格向出售方购买一定数量和质量的标的资产的协议，买方有执行的权利，也有不执行的权利，完全可以灵活选择，但是卖方没有选择的权利。

简而言之，期权对于期权的购买者和期权的出售者来说，期权是一种零和博弈。

（二）期权的分类

期权产品在交易所市场和场外市场里均有交易。期权产品可以分成两种基本类型：看涨期权和看跌期权。

看涨期权：持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格买入某种资产；其中的特定价格也被称为期权的执行价格。看涨期权通常运用于预测未来股价会上涨，则以较低价格买入股票。

看跌期权：持有者有权在将来某一特定时间以某一特定价格卖出某种资产；看跌期权通常运用于预测未来股票下跌，则执行期权以较高价格卖出股票。

期权所定义的特定时间又称作期权的到期日，根据期权在到期日前是否可以行权把期权分类为欧式期权和美式期权。

欧式期权：在期权到期日之前不能行权，仅仅只能在期权到期日当天才能行权；

美式期权：在期权到期日之前的任意日期可以行权，不固定非要在到期日当天行权。

欧式期权和美式期权的区别是在于到期日的不同，而不是根据国家地域划分的；例如：在芝加哥交易的仅能在到期日当天行权的期权属于欧式期权。

在下文中，运用到的期权一律是指欧式期权，我们将研究欧式期权定价模型中的B-S-M期权定价模型和二叉树模型，然后选取一只股票作为标的，进行两种模型的定价对比。

三．期权定价模型

期权、期货以及其他衍生产品,那些收益依赖于标的资产价格的衍生证券的定价是现代金融学的一个伟大成就,它不仅是金融理论的核心内容与重要支柱,而且在整个金融领域中的股票期权激励、资产评估、金融风险管理以及公司财务管理中有着广泛的应用。

（一）期权定价原理

期权定价是一个复杂的问题,因为它以标的资产价格走势为基础,再结合自身所具有的衍生虚拟性质,隐含了较大的杠杆,虽然不同于传统的资产定价原理,但是又是以传统定价原理为基础的,即以无套利定价原理和风险中性定价原理为基石。年以前,研究者就已经对期权的定价做了大量的研究,得到了与公式类似的定价公式,直到Black Scholes， Merton以完美的数学推理得到了比较规范的经典公式后,该定价公式才在市场上得到了广泛的应用和检验,并且后人的研究也大多数都以模型为基础进行改进和演化,而模型的建立基础便是无套利定价原理。

（二）无套利定价原理

无套利定价原理的基本内涵是,在一个有效市场里不存在着套利的机会,期权的收益可以通过包括标的股票和无风险债券的动态投资策略来复制,这个策略在到期时与期权有着相同的收益,这个组合的初始成本必然等于期权价格,到期价值也同样相等,否则就有套利机会,也就是说期权的收益率实际就等于这个投资组合的收益率。期权定价公式可以用偏微分方程来刻画,这个偏微分方程的边界条件和初始值就代表了期权合约的条款。

举例：构造一个投资组合

X：无风险组合，A：风险资产，C：关于该风险资产的看涨期权

在无套利均衡下，无风险组合X在未来无论上升还是下跌，其组合价值不变；

则由此可得：

可求得最后无风险组合中的看涨期权权重为：

：标的资产未来上升后价格；   

：标的资产未来下降后价格

K：标的资产执行价格

（三）风险中性定价原理

在一个所有投资者都是风险中性的世界里,所有证券的预期收益率皆为无风险收益率。因为风险中性的投资者并不需要某种补偿促使他们承担风险。而且在风险中性的世界中,将其期望值用无风险利率贴现可获得任何现金流的现值。由Cox和Ross（1976）得出的结论简化了期权的定价公式,在风险中性的条件下,期权价格可以表示为无风险收益率折现的期望收益率,即：

是欧式认购期权价格,

是标的股票在到期日时刻的价格,

是风险中性条件下的期望

由风险中性定价原理和无套利定价原理可以得出看涨-看跌期权的平价公式：

是标的股票在初始时刻的价格

（四）B-S期权定价模型

假定期权标的资产现货价格的变动是一种随机的“布朗运动”（Brownian motion）,其主要特点是:每一个小区间内的价格变动服从正态分布,且不同的两个区间内的价格变动互相独立。S，T服从对数正态分布，则通过Black-Scholes微分方程的积分求解,可以得到Black-Scholes期权定价模型。

其主要假设为：

（1）股价服从对数正态分布；

（2）股票可以卖空；

（3）市场不存在无风险的套利机会；

（4）无交易费用和税费；

（5）股票可以无限细分；

（6）无风险利率是常数，保持不变；

（7）期权为欧式期权。

其中：

  其中，该模型主要包含以下参数：到期时间T、标的资产价格S、执行价格K、无风险利率r、波动率σ、看涨期权价格C、看跌期权价格P。N为正态分布函数。

其中根据看涨-看跌期权评价公式，可求得B-S下看跌期权价格：

（五）二叉树期权定价模型

对期权定价时，一种有用并且很流行的方法是构造二叉树。这里的二叉树是指代表在期权期限内可能会出现的股票价格变动路径的图形。这种方法假设了股票价格服从随机游动。在树形上的每一步，股票价格以某种概率会向上移动一定的比率，同时以某种概率会向下移动一定的比率。

运用二叉树法有两种方法进行期权的定价：无套利定价方法和风险中性定价方法。这两种方法本质都是倒推法。

二叉树模型的假设条件：

(1)股票市场是完全有效的；

(2)市场存在无风险利率且无风险利率为常数；

(3)不考虑股票的红利；

(4)股票和期权合约的买卖不计成本；

(5)投资者都是理性的。

二叉树模型的基本方法是：从初始时间到交易日这一段时间内，采取不同的时间间隔，每一次时间间隔称之为一步；而每一个时间间隔，股票价格都会有上升和下降两种可能，将股票上涨比率用u表示，下跌比率用d表示；则下一步的标的资产价格可表示为：如果价格上升；如果价格下降则表示为。期权的价格也由此计算，直至算出在0时刻即为初始时间的期权的价值。

上涨比率：  ;下跌比率：

上涨概率：  ;下跌比率：

在n时刻的看涨期权的价值：

模型主要涉及的参数：标的资产初始价格、执行价格K、无风险利率r、期权到期时间T、波动率σ、价格上涨的比率u、价格下降的比率d、价格上涨的概率P、步长（节点）n、t时刻看涨期权价格。

四．Python实现B-S和二叉树并比较

（一）B-S公式的实现-欧式看涨期权

1.运行过程：

2.变量及举例，我们设置了六个变量解释如表：

3.运行结果如图：

可得，由以上数值求出的欧式看涨期权价格为11.6。

（二）二叉树公式的实现-欧式看涨期权

1.运行过程

2.变量及举例

由于二叉树模型的计算会因为其步数的改变而使最终期权价值改变，因此我列举了步数为：2,4,10,50,100,300,500；然后根据算出的期权价值和B-S-M公式算出来的相比较。

3.运行结果

（三）B-S模型和二叉树模型的比较

根据以上的运行结果可得，随着二叉树的步数的增加，其计算结果越来越趋近与B-S-M模型计算的结果。如表所示：

由运行结果显示：当二叉树步数达到500步时，利用二叉树模型计算结果和B-S模型计算结果相同；可以思考，在无套利原理和风险中性原理下，期权的二叉树定价模型和B-S定价模型最终趋于拟合。

参考文献

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