二次函数在限定闭区间上最值的思考

二次函数在限定闭区间上最值的思考

毛银娟

西安市临潼区临潼中学   710600

摘要：高中数学学科学习不仅仅提高学生的数学成绩，更重要的是要提高中学生的数学思维，培养学生的逻辑意识，运用数学知识解决问题的能力，从而提高教学质量，是学到有用的数学，为学生后续的学习打下坚实的基础。二次函数在限定区间的问题贯穿高中整个学科知识，可以涉及代数部分，立体几何，解析几何和应用题，是数学的主干知识，具有基础性和工具性。而区间上的最值是这部分的重点。本文在练习题的基础上加入思考，对这类问题从多个不同角度出发、理解、展开，使学生对这类问题有更全面的认识。

关键词：高中数学； 二次函数； 最值；

一、二次函数的二次项是确定的常数。

1.已知函数f(x)＝x2－tx－1. 若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t).

解：函数图像的对称轴为直线x＝

①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝3－2t.

②－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f(x)min＝f＝－1－.

③当≤－1，即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)min＝f(－1)＝t.

综上，g(t)＝

本题是一道常规的二次最值问题，关键是讨论对称轴和区间的关系，一般分为对称轴在区间内、在区间左侧、在区间右侧来讨论。

当然这类问题也可以用导数解决，求导后根据导函数的零点和区间端点的关系来讨论，最后也落到的与区间端点的关系，讨论函数单调性，从而确定最值，处理类似上解，在这里不再赘述。

迁移1：本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t).

如果这道题用常规方法来进行的话，不仅要分对称轴在区间的左侧、右侧、在区间内部时还得分对称轴和区间中点的关系，较为麻烦。

思路一：根据二次函数图像是抛物线这个特点，在限定闭区间的最大值无论区间是那种情况不会在对称轴处取，只可能在区间端点取。因此只需求出区间端点的值，比较它们的大小即可。

解：　f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t，

当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0，∴f(2)≤f(－1)，

∴f(x)max＝f(－1)＝t；

当t＜1时，f(2)－f(－1)＞0，∴f(2)＞f(－1)，

∴f(x)max＝f(2)＝3－2t，

综上所述 有G(t)＝

思路二：根据二次函数图像开口向上的特点，最大值会在距离对称轴远的那个端点取得。因此只需讨论对称轴与区间中点的关系，就能确定在何处取得最值。

解：函数图像的对称轴为直线x＝，区间中点值是

当≥时， 即t≥1时，f(x)max＝f(－1)＝t；

当＜时    即t＜1时，f(x)max＝f(2)＝3－2t，

综上所述 有G(t)＝

迁移2： 已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.

本题利用最大值求参数，本质还是要求二次函数在限定闭区间的最大值，再根据最大值列出等式来求解。

思路一：利用二次函数图像开口向上，最大值只可能在区间端点取来解决最大值。

解：f(－1)＝－2a－1，f(3)＝6a＋3，f(3)- f(－1) ＝8a＋4，

当a≥－，f(3)- f(－1)≥0时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；

当a＜－，f(3)- f(－1) ＜0时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.

综上可知，a＝－或－1.

思路二：利用区间中点和对称轴的关系解决最大值。

解　函数图像的对称轴为直线x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；

②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.

综上可知，a＝－或－1.

二、二次函数的二次项系数是参数。

2.已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.

这类函数问题二次项系数为参数，必须对参数是否为0讨论。如果二次项系数为0，该函数是一次函数，较为简单。如果二次项系数不为0，才能用二次函数解决，还需按二次项系数大于0和小于0分类，本题一级分类标准是二次项系数和0的关系，二级分类标准是对称轴和区间端点的关系。

解：　当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，

∴f(x)min＝f(1)＝－2.

当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图像开口向上，且对称轴为x＝.

①当0＜≤1，即a≥1时，f(x)在上递减，在上递增，

∴f(x)min＝f＝－＝－.

②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)在[0，1]上递减，

∴f(x)min＝f(1)＝a－2.

当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图像开口向下，且对称轴x＝＜0，

∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减，

∴f(x)min＝f(1)＝a－2.

综上所述，f(x)min＝

迁移：已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.

(1)求a，b的值；

(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.

解：　(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a≠0).

当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，

故⇒⇒

当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，

故⇒⇒

(2)因为b＜1，所以a＝1，b＝0，

即f(x)＝x2－2x＋2.

g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，

因为g(x)在[2，4]上单调，

所以≤2或≥4，

解得m≤2或m≥6.

故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞).

总之，二次函数部分有丰富的内涵和外延。作为高中阶段的基础函数，尤其对最值的研究，可以命制出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素养，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。本文从二次函数的最值解答和迁移入手，通过逻辑推理，化归转化，分类讨论的思想解决含参的二次函数的最值问题，希望能给解决这类问题以启发，让学生解决这类问题不再盲目。