高阶导数教学设计探索

高阶导数教学设计探索

文承豪

武警警官学院 四川  成都  610000

摘要：高等数学课程是大学公共基础课，其知识具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。本文以教学内容为载体，以高阶导数教学设计为例，探索高等数学课程教学过程中如果展现知识的关联性，以及较好地融入思政设计与实践，并进行了教学效果总结以及教学反思。

关键词：高阶导数；课程思政；高等数学

高阶导数就是按照求导法则逐次进行求导数，如果要求函数的高阶导数公式，就需要在逐次求导的过程中，总结求导规律并证明。掌握高阶导数的计算方法，对于解决自然科学研究、工程设计、人文社科领域的问题都有实际意义。

1.教学目标

知识目标：理解高阶导数的概念,掌握二阶导数的求法,会求简单函数的高阶导数。

能力目标：进一步提高逻辑推理能力，提升运用所学知识进行推理证明的能力，增强数学知识的应用能力。

情感态度与价值观：培养学生脚踏实地的精神，培养辩证看待问题的思维，培养迎难而上的坚韧毅力。

2.课堂组织与实施

2.1实例导入

引例求变速直线运动的加速度与急动度

分析：设则瞬时速度为.加速度是速度对时间的变化率，

进而，如果再计算加速度对时间的变化率，那会有什么实际意义吗？

加速度对时间的变化率，其实是急动度.这一概念可以与人乘坐交通工具的舒适感结合在一起.比如发生车祸时，加速度会有变化，这就会产生急动度。急动度越大，人会觉得越不舒适。那么相应地，急动度计算公式为：.

（导语）可以看到，对于部分从实际应用中得出的函数，我们对它进行多次求导，得到的函数仍然可能具有一定的实际意义.除了这个例子外，对函数二次求导后的结果可以用于计算函数曲线的弯曲程度，这是几何上的应用.以及，对函数多次求导，可以用于计算后面将要学习的泰勒公式，以帮助我们进行精确度很高的数值近似计算。因此，我们从数学的角度，研究这种对函数进行多次求导的相关理论和方法，是十分有必要的.现在，忽略自变量和因变量所代表的实际意义，我们关注其中的数学本质，即对函数进行多次求导的这一处理方式，首先我们给出一个定义，也就是本节课我们所需要理解的知识点——高阶导数的定义.

导课时，注意强调在求导的基础上再求导这一思想，可以自然引出定义和用数学归纳法来证明的思路，增强学生数学知识的应用能力。

2.2高阶导数的定义

定义 如果函数的导数在点处可导，即存在，则称为函数在点的二阶导数,记作或

注：记号分子、分母上标位置不能更改.

二阶导数的导数称为三阶导数,

三阶导数的导数称为四阶导数,

一般地，函数的阶导数的导数称为函数的阶导数，记作或

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.

相应地，称为零阶导数；称为一阶导数.

【课程思政】高阶导数的定义就像军队职业化所要求的，军（警）官的履历必须完整，要一级一级地往上走，一步一个脚印.

注：高阶导数的定义其实是一个迭代性质的定义，后一阶的导数依赖于前一阶的导数，这也提示我们：（1）如果阶导数存在，那么前面的所有阶导数都存在；（2）这一点其实与数学归纳法十分相似，在适当的情况下可以利用数学归纳法来证明一些和高阶导数相关的性质.

比如接下来要掌握的高阶导数的运算法则，也是解决大家最感兴趣的怎么算高阶导数的问题.

2.3高阶导数的运算法则

设函数和具有阶导数，则

    （1）

    （2）

证明：（以（1）为例）当时，有成立；现在假设时，成立；那么对于，有也成立.根据数学归纳法，运算法则得证.

（3）

观察：，

，

，

......

规律（1）右端各项阶数之和相等且等于左端的阶数；

规律（2）系数构成杨辉三角.

类比牛顿二项式定理展开式：，可以得到运算法则：.

该法则依旧可以用数学归纳法证明，过程略.

2.4利用定义和运算法则求高阶导数

由高阶导数的定义逐步求高阶导数.

例1  设，求、.

    解：  .

        .

例2  设，求.

    解：

            ......

        若为自然数，则

例3  设求

    解：设则由莱布尼兹公式，知

            .

2.5小结

（1）高阶导数的定义

逐次求导.

（2）高阶导数的运算法则

莱布尼茨公式.

（3）利用定义和运算法则求高阶导数

2.6思考题

设，求.

解：由，得，消去参数，可得，进而求导，.

问：无法消去参数时怎么求？

3.教学效果

本堂课坚持以学员发展为中心，注重知识传授与能力培养，同时融入了数学知识的关联性和解决问题的设计。通过学习，学员基本能达成课堂目标，能够学会应用知识证明结论，掌握二阶导数的求法,会求简单函数的高阶导数，初步学会运用知识解决问题。

4.教学反思

（1）注重军事案例挖掘。在教学设计中，为了贴近军校学员的学习生活背景，用军事案例来进行引入和讲解，可以更大程度地激发学员的学习兴趣。当然，高阶导数的应用还更加广阔，需要认真挖掘，数学来源于生活，应用于生活。

（2）加强复杂问题训练。本文的例题比较简单，需要注重培养学员分析问题的能力，应用知识的能力。

参考文献

[1]同济大学数学科学学院.高等数学[M],北京:高等教育出版社,2023.06.

[2]黄玉才.高等数学课程融入课程思政的思考与探索[J].科教文汇,2020.

[3]范一远.思政教育融入高校教学路径探究[J].教育现化,2019(75):253-254