例谈双切线与同构式在平面解析几何中的应用

例谈双切线与同构式在平面解析几何中的应用

吴秀芝

临沧市第一中学

平面解析几何是通过平面直角坐标系运用代数的方法解决平面几何问题的一门学问.平面解析几何是方法论，其本真是几何，核心是代数运算.我们在面对具体问题时，既要关注几何本真，落实直观想象核心素养，又要以代数运算为核心。落实逻辑推理和数学运算核心素养，代数运算成为解析几何最大的难点。

近年来无论是高考还是各省模拟卷双切与同构式一直都是考查的重点.圆锥曲线中，同构结构的出现一定等价于图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构”特征，这样的同构特征，往往是我们简化运算，同时也是解决一些问题的抓手.

1、双切线与同构式求切点弦方程

【例1】 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：x＝1交椭圆C于A，B两点，点O为坐标原点，且△AOB的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点M是椭圆C上的一个动点，过点M分别作直线ME，MF与曲线D：2x2＋2y2＝1相切于点E，F.若直线EF在x轴、y轴上的截距分别是m，n，证明：＋＝4.

解析：(1)当x＝1时，y＝±，

则有解得a＝，b＝c＝1，

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明：设M(x0，y0)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，

则直线ME，MF的方程分别为2x1x＋2y1y＝1,2x2x＋2y2y＝1，又直线ME，MF过点M，所以2x1x0＋2y1y0＝1,2x2x0＋2y2y0＝1，所以直线EF的方程为2x0x＋2y0y＝1，分别令x＝0，y＝0，解得n＝，m＝，

则＋＝2x＋4y，

因为点M在椭圆＋y2＝1上，

所以＋y＝1，即2x＋4y＝4，

所以＋＝4.

【反思与总结】可以直接利用“代一留一”的二级结论求解圆锥曲线的切线，但是抛物线，椭圆和双曲线的切点弦在解答题中，不能直接用“代一留一”的二级结论直接写出，而是要同构式严格证明求解。

2、双切结构求斜率之积

【例2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为4.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)我们称圆心在椭圆C上运动且半径为的圆是椭圆C的“环绕圆”．过原点O作椭圆C的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，并记为k1，k2，求k1k2的取值范围．

解(1)由题意，得＝且·2a·2b＝4，又a2＝b2＋c2，解得a2＝5，b2＝4，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)如图，设切线OA的方程为y＝k1x，切线OB的方程为y＝k2x，“环绕圆”的圆心D为(x0，y0)．

由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝1.

因为直线OA：y＝k1x与“环绕圆”相切，则由点到直线的距离公式可得＝1，

化简得(x－1)k－2x0y0k1＋y－1＝0.

同理可得(x－1)k－2x0y0k2＋y－1＝0.

所以k1，k2是方程(x－1)k2－2x0y0k＋y－1＝0的两个不相等的实数根，

所以x－1≠0，Δ>0，k1k2＝.

又因为“环绕圆”的圆心(x0，y0)在椭圆C上，所以代入椭圆方程＋＝1中，可得＋＝1，解得y＝4－x.

所以k1k2＝＝－.

又因为0≤x≤5且x－1≠0，

所以－1≤x－1<0或0<x－1≤4.

所以≤－1或≥，

所以≥11或≤－，

所以－≤－3或

－≥－.

所以k1k2的取值范围是(－∞，－3]∪.

【总结与反思】巧设直线方程，利用圆的切线性质(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．

3、割线同构

比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程.当割线过定点后，不妨假设该割线与椭圆交于点，那么随着而来的可能就是围绕着这两点的相关结论，最经典的当然就是双斜率和积了，例如椭圆的上顶点为，那么可能会有的定值出现.随着双斜率关系的出现，一些常规的问题就可以展开了，当然，我们需要注意的就是这两个点的地位一致性，它会导致同构算法的出现以及我们常用的术语：“同理可得”.

【例3】（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．

（1）求的斜率；

（2）若，求的面积．

解：设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率.

因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为.

【总结与反思】的等价地位就意味着等价，则

的坐标一定是曲线方程的同构解，此时若我们用的参数来表示的坐标，再利用同构解来求得的斜率，这就是整个问题的基本思路.

   高考对平面解析几何的考查重视数学知识的基础性，综合性和应用性，代数法是解决解析几何问题的通性通法，在平时的教学中要注意一题多解，夯实基本技能和基本方法，在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比较，把握问题本质，多角度审视.