探究反比例函数的值，培养学生数学核心素养

探究反比例函数的值，培养学生数学核心素养

姜家奇 

云南省腾冲市教育教师发展中心

摘要：在核心素养教育的背景下，对反比例函数中值的深入探讨显得尤为重要。本文从核心素养的角度出发，分析了值的实际意义，培养抽象能力；构建形与数的联系，培养几何直观；代数推理函数增减性，培养推理能力；理解值的几何意义，培养模型观念；值在反比例函数中的几何意义、代数性质及其综合应用，旨在更深入地理解反比例函数，培养其数学思维能力和解决问题的能力。

    关键词：函数  核心素养  培养

正文：

2022年版《义务教育数学课程标准》指出，数学核心素养主要由会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界三要素构成。在新的核心素养提法背景下，数学教育的目标不仅仅是传授知识，更重要的是培养学生的数学思维和解决问题的能力，立足学生核心素养发展，集中体现数学课程育人价值。

反比例函数是初中数学的重要内容之一，其中核心素养视角下反比例函数中的值研究对于理解函数的性质和应用具有重要意义。

一、理解的实际意义，培养抽象能力

抽象能力是会用数学的眼光观察世界的主要表现之一，通过实际情境中，抽象出核心变量及变量之间的关系，理解值在实际中的意义和应用，从而培养学生的抽象能力，形成数学想象力，提高学生的学习数学的兴趣。

例1.已知蓄电池的电压为36，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数关系式为

在例1中，反比例函数在实际问题中有广泛的应用，如体积、路程、电阻为。在这些应用中，值通常具有特定的物理意义。例如，在体积问题中，体积代表底面积与高的乘积；在电阻问题中，值代表电阻与电流的乘积；在路程问题中，值代表速度与时间的乘积。通过对这些实际问题的分析，学生可以更加深入地理解值在实际应用中的作用。

二、构建数与形的联系，培养几何直观

几何直观是会用数学的眼光观察现实世界的主要表现之一，根据反比例函数解析式画出函数图象，观察函数图象的位置和形状，总结函数图象的性质和特点，能培养学生的几何直观。

1.值决定反比例函数的图象双曲线的位置和形状。

例2.画出反比例函数与的图象.

解：如图1、图2，画出函数图象.

        图1                       图2

从例2中的事实可以总结出决定函数图象的位置和形状：

当时，双曲线位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，双曲线位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大。

2.决定了双曲线与坐标轴的距离，即双曲线的开口大小。越大时，双曲线相对于坐标原点越来越远，离坐标轴的距离越来越远，双曲线的开口越来越大。通过这一几何意义，学生可以更加直观地理解值对反比例函数图象的影响。

如图3、图4中，当时，随着值的增大，双曲线相对于坐标原点越来越远，离坐标轴的距离越来越远，双曲线的开口越来越大。

如图5、如图6，用几何画板画出反比例函数的图象，拖动参数，可以观察出越大，双曲线相对于坐标原点越来越远，离坐标轴的距离越来越远，双曲线的开口越来越大。

三、代数推理函数增减性，培养推理能力

推理能力是会用数学的思维思考现实世界的主要表现之一，根据反比例函数图象的变化，利用代数推理能让学生更好的理解反比例函数的增减性，培养学生的推理能力。

设为双曲线同一支上任意两点的横坐标，且，

当即此时，随的增大而减小.

当即此时，随的增大而增大.

四、理解值的几何意义，培养模型观念

模型观念是会用数学的语言表达客观世界主要表现之一，根据反比例函数的代数性质和几何意义，构建矩形面积、三角形面积与的基本模型。

推导：如图9，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线,所得的矩形的面积

图9  

的几何意义：根据反比例函数图象上的点具有两坐标之积为常数这一代数特点，即：过双曲线上任意一点，向坐标轴做垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数.

规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴做垂线，其中一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数

五、反比例函数值的综合应用

例3.(2023年广西中考）如图10，过图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为若.求的值？

解析：点过的图象，

，轴，点在

反比例函数的图象上，

轴，点在反比例函数的

图象上，,.               

图10

,,,

.解得经检验，是原方程的解，且符合题意.

    评析：此题解题的关键是矩形面积这一模型。

例4.如图11，矩形的边分别在轴和轴上，两点在反比例函数第一象限的图像上,相等吗？为什么？

   解析：理由如下：

  连接，则.

两点分别在反比例函数的图象上，

  ,,             图11

,. 事实上，连接,易证

评析：此题应用这一模型，就能很容易找到解题思路。

总之，通过从新的核心素养视角下对反比例函数中值的深入探讨，我们不仅可以帮助学生理解函数的性质和应用，还可以培养学生的

抽象能力、几何直观、推理能力等数学核心素养。在未来的数学教学中，我们应该更加注重核心素养的培养，让学生在掌握数学知识的同时，也能够培养自己的数学思维能力和解决问题的能力。

参考文献：

{1]教育部审定2012义务教育教科书.人教版数学课本九年级下册[M]，人民教育出版社出版，2017.12.

[2]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2022年版）[M]，北京师范大学出版社出版，2022.

[3]季红娟，如何理解并有效应用反比例函数中“”值的几何意义[J]，初中生世界，江苏教育出版总社，2016.08.