克拉默法则在相关内容教学设计中的运用

克拉默法则在相关内容教学设计中的运用

刘瑞杰

（武警警官学院，四川成都，610213）

摘要：克拉默法则是求解某一类特定线性方程组的解法，相对于应用，它所起的纽带作用及蕴含的思想对学生学好线性代数有更大的意义。本篇文章从不同的视角分析克拉默法则的作用及所蕴含的思想，并探讨如何有效融入相关内容的教学设计。

关键词：克拉默法则、教学设计、运用

一、引言

克拉默法则内容较简单，学生也容易理解。传统的教学设计是在证明后举例练习说明应用。但考虑到克拉默法则在线性方程组、行列式、矩阵等重要内容间的纽带作用，在教学设计中应考虑并体现这些。接下来，本文主要通过对克拉默法则几个方面的分析，探讨如何进行有效的教学设计。

二、从不同角度看克拉默法则及其在教学设计中的运用

在整体的教学设计中，会弱化证明，但证明过程中所体现的思想还是有必要介绍。文献[4]从多个角度，用多种方法对克拉默法则进行证明，适合不同专业、不同层次的学生学习了解。本篇文章仅从教学设计需要的角度出发，探讨该如何利用克拉默法则进行相关内容的教学设计。

（一）从线性方程组的角度看克拉默法则

克拉默法则仅适用某一类特殊的线性方程组的求解，即方程个数等于未知量个数，且系数矩阵的行列式。在线性方程组的求解中起着承上启下的作用，它是第一章用二阶行列式求解二元线性方程组的推广，更能通过例题讲解，设置问题：（1）若方程个数不等于未知量个数，即不存在，该如何求解方程组？（2）若系数矩阵的行列式存在，但，又如何求解？以问题驱动学生思考关于线性方程组的一般解法和解的表示等问题，为第三章用矩阵的初等变换求解线性方程组奠定基础，同时也体现了线性方程组这条贯穿全程的主线。

整体设计思路如下：

第一章：二阶行列式求解二元线性方程组

克拉默法则

第三章：一般线性方程组的求解

图1 设计思路图

上述设计蕴含了从简单到复杂，从特殊到一般的数学思想，可以作为课程思政元素融入教学设计，更可以作为小结内容进行提炼、概括、升华。

（二）从行列式的角度看克拉默法则

首先，克拉默法则是行列式在求解线性方程组中的应用，可以在讲解行列式的计算时就贯穿其中。

其次，克拉默法则可由行列式的性质进行推导得出，具体如下：

显然，当时，。同理可得是方程组的一组解，由于，所以解惟一。

在介绍行列式的性质时，可举例有针对性地说明线性方程组的行列式解法，即克拉默法则。

（三）从矩阵的角度看克拉默法则

克拉默法则放在矩阵的运算之后，可看做是逆矩阵的应用。

另外，也可通过克拉默法则的其中一种证明引出矩阵分块思想，在第二章前后节内容的安排上，体现出知识的有效衔接。证明如下：

令为的第列，为阶单位阵的第列，则

同取行列式，则有。显然，当时，是元线性方程组（1）的惟一解。

（四）从向量的角度看克拉默法则

以二元线性方程组为例：

令，则。

从向量的角度，上述方程组的解可理解为向量由向量组线性表示的系数，如图所示

图2 方程组的向量表示形式

线性方程组有解向量可由向量组线性表示，所以在介绍向量组的线性表示问题时就可以举例线性方程组的求解，加深学生对知识之间联系的理解。代数问题转化成了几何问题，学生理解起来更加形象、直观。

三、小结

克拉默法则内容虽不难理解，但它的地位和作用却不容忽视。在教学设计中

教师应结合它和行列式、矩阵、线性方程组、向量等内容的关系，进行有针对性地进行设计。

参考文献：

1. 同济大学数学科学学院，工程数学-线性代数[M]，第七版。高等教育出版社，2023: 44-46。
2. 刘深泉，张万芹等译，线性代数及其应用[M]，原书第5版。机械工业出版社，2019: 176-183。
3. 李尚志，线性代数[M]，高等教育出版社，2016: 121-123。
4. 唐锋，因材施教在克拉默法则在教学中的体现[J]，常熟理工学院学报（教育科学）。 2016:102-105。
5. 居余马等，线性代数[M]，第2版.清华大学出版社，2002: 22-27。
6. 张清仕，王云青，克拉默法则的教学困境与应对策略[J]，江西电力职业技术学院学报. 2022: 25-28。

作者简介：刘瑞杰（1986-  ），女，副教授，河南开封人，硕士研究生，主要方向为智能计算.