紧扣乘法意义   理解定律本质

紧扣乘法意义   理解定律本质

周琴   胡亚琼

眉山市东坡区齐通小学   

【摘要】运算定律在数学中具有重要地位和作用，可作为推理的依据，中段整数乘法运算定律的学习是学生今后学习的基础，是培养学生迁移能力，感悟运算一致性的关键.教学中发现学生学习乘法结合律和分配律时，更多的是关注定律的“形”，没有从乘法意义上理解两种定律的本质内涵，所以犯错较多.在教学乘法结合律和分配律时，应该紧扣乘法意义，通过丰富资源、多元表征、对比沟通、作业设计，深化乘法意义的理解，用乘法意义统领两个运算定律，从而深度理解定律的本质。

【关键词】乘法结合律；乘法分配律；乘法意义；定律本质；运算一致性

运算定律是运算体系中具有普遍意义的规律，是运算的基本性质，可作为推理的依据。运算定律在数学中具有重要的地位和作用，被誉为“数学大厦的基石”，尤其是乘法结合律和乘法分配律，运用十分广泛。回顾以往的教学，学生在运用乘法结合律和乘法分配律时会出现许多问题，尤其是容易将两种运算定律混淆，造成计算过程混乱。通过分析发现，以往乘法运算律的教学大都按照“呈现情境——看图列式——比较算式——寻找规律”的学习路径不断重复，通过比较算式的异同来概括出定律的学习方式有利于学生快速认识乘法运算律“是什么”，不过对于定律“为什么”却难以解释。这种压缩式的学习，学生无法在头脑中建立乘法运算律一般性表达和乘法意义之间的联系，造成机械地记忆公式，缺少对乘法定律本质的理解，这正是学生反复出错的原因。

针对以上情况，我们尝试在教学中改变以往的教学思路，用乘法意义来统整两个运算定律，让学生体会乘法意义理解算理的一致性，明白两种运算定律的本质内涵，具体做法如下：

一、丰富资源，借助意义理解算理

学生的自主探究、意义建构是在大量信息基础上进行的，丰富的学习资源是学生主动建构的必备条件。不论是乘法结合律还是乘法分配律，在生活和数学中应用都十分广泛，这两个数学模型是对生活中大量事例概括抽象的表达，在教学中不能仅凭一个情境，一个问题就让学生发现并理解乘法运算定律，而应该将具有共同特征的材料进行整合，形成一组学习材料，以便学生进行观察、比较、分析，在不同中找相同，通过对乘法意义的理解来理解运算定律的内涵。

在教学《乘法分配律》时，我将买衣服、算面积和求圆片总数的问题整合成一组学习材料，引导孩子们在“异”中求“同”。通过对三个不同问题情境的探索，深化了对两种方法的理解，更加清晰地把握“分开算”“合着算”是两种解决问题的基本策略，同时在对比讨论“为什么都可以用这两种方法进行计算”的过程中，让学生发现是因为有相同因数。正是因为有相同因数，我们才可以分开算几个几，再算几个几+几个几，也可以先算相同因数的个数，再算几个几，从而达成借助乘法意义来理解乘法分配律的算理。

二、 多元表征，借助意义建构模型

在数学学习中，既有内隐的心理层面的知识整合与建构，也有外显的能够呈现认知过程和认知结果的多样化的数学表达，这就是数学多元表征。多元表征学习能帮助学生更好地进行深度、有意义的建构。在教学乘法运算律时，让学生通过图示表征、言语表征等多元表征方式，加强对乘法意义的理解，从而构建乘法定律的模型。

1. 图示表征

我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”强调了数形结合的重要性。

教学乘法结合律时，通过圈图表示125×16的思路，学生会出现两种思路，通过分析交流，让学生理解不论是拆成125×8×2,还是拆成125×4×4，都是把总数分成了相同的几部分，先算几个几，再算几个几，两次都在算几个几，所以两次都要算乘法。这样强调“式”“形”互通，即从“算式”想到图形，由 “图形”归为算式，借助乘法意义，让学生既熟悉乘法结合律的外在形式，又理解其内在的意义。

2. 言语表征

通过语言表征，也可以促进孩子对乘法意义的理解，帮助孩子更好地建构乘法定律的模型。在教学乘法分配律时，我们可以先让孩子读一读算式，读出算式的意义，比如45×36+55×36读成45个36加55个36等于100个36，44×25可以读出44个25等于40个25加4个25，在学生充分读、理解算式的意义的基础上理解乘法分配律的结构。在此基础上，老师提出“这样的等式多吗？能说得完吗？那能不能用一个算式表达出来刚才发现的规律？”这样的问题，鼓励学生用字母、图形代替数，一般性地表达所发现的规律，并经历由图示表达到语言表达再到数学符号表达的过程，让学生在说理中再次体会所发现的规律，培养学生的符号意识，有助于学生形成初步的代数思维。

通过多元表征，借助乘法意义理解乘法运算定律，仅仅抓住乘法定律外在变化的“形”来理解内在不变的“理”，将形式归纳与意义理解相结合，助力学生自主建构乘法定律的模型，帮助学生在今后的学习中灵活运用和顺利迁移。

三、对比联结，借助意义厘清本质

学习需要对比反思，对于容易混淆的乘法分配律和乘法结合律，教师设计练习提升课，引导学生加强对比，理解它们的联系和区别，厘清两个运算定律的本质。通过紧扣乘法意义，深度理解定律内涵，力求达到从形式上的模仿——意义上的理解——灵活运用定律，从而发展学生的数感，提高学生的运算能力和推理能力。

四、作业设计，运用意义巩固认知

作业是知识学习中的关键一环，在学习了乘法分配律和结合律后，不仅要设计针对每个运算定律的单独练习，更要设计综合性练习，让学生在巩固知识的同时进一步深化对两种运算定律的理解。我们在设计作业时，仍然要指向乘法意义的理解，引导学生通过乘法意义来灵活选择算法，而不是死记结构，套用模型。

作业一：在圆圈里填上适当的符号，在方框里填数，使题目可以简算。

67×52+□×□            49×101○□

作业二：计算下面各题，能简算的要简算。

247+53×2       98×46+92     

作业三：小王用计算器计算“13456×49”时，发现数字键“4”坏了，如果还用这个计算器计算，你会怎样算？

作业一是数据未知，学生自己填算式的过程中要观察数据和符号的特征，利用乘法的意义来说理，检查了孩子对运算定律的本质理解和灵活运用；作业二是能简算的要简算，看似不能简算的题却可以通过改变算式来实现简算，比如第1小题可以拆分成247+53+53，第2小题则可以变式为98×46+46×2，让学生从算式意义的角度来分析、选择合理的算法，培养学生的简算意识和推理意识；作业三是一道开放题，教师创设计算器坏了的生活情境，引导孩子对原来的算式进行变式，从而计算出得数，在改变算式的过程中仍然要思考算式的意义，做到算式形变而得数不变。

整个练习设计富有层次性、针对性、思考性，聚焦到乘法的意义，引导学生从乘法意义的角度进行分析，合理选择算法，培养学生的运算能力和反思能力。

总之，在教学乘法运算定律时，我们要紧扣乘法意义，理解定律本质，用乘法意义来统领两个运算定律，让学生经历知识从懂—彻底懂—经过消化的懂的过程，从而让学生学得通透，用得灵活。

参考文献

[1]王翠丽 吴海棠. “乘法分配律”教学实录与评析[J].小学数学教育，2023,1—2

[2]朱文静.小学数学乘法分配律学习进阶的研究[D].上海：上海师范大学，2020