浅议数学命题的否定

浅议数学命题的否定

沈红正

浙江镇海中学  315200

普通高中教科书（人教A版）数学必修第一册第一章第五节，讲解了全称量词与存在量词以及全称量词命题和存在量词命题的否定。虽说这部分内容难度不大，但在教学过程中经常发现一些学生写出来的命题的否定与原命题同真同假的情形，究其原因，我认为主要有两个方面，一是对“否定”的理解不正确，二是对省略量词的命题理解错误。下面就这两个方面谈点肤浅的看法，请同行指正。

1、什么是否定？

一般有两种说法，一是说原命题的对立面，二是说除原命题以外的所有情形。这其实是两种不同的否定方法，对于象不等式之类的否定，前者是从不等关系的角度考虑，后者是从不等式的解集角度考虑，所以我认为第二种说法比较明确合理。尽管有些命题两种否定的结果是一样的，但有些命题按第一种思想进行否定，往往会产生矛盾。

例如  已知则是的（     ）

A．充分条件  B. 必要条件  C 充要条件 D 既不充分也不必要条件

   按第一种说法：，，所以；

，，所以是的既不充分也不必要条件，故选（D）。

按第二种说法：命题；

命题，所以是的充分条件，故选（A）。

两种不同的想法得到了两种不同的答案，是因为命题s的否定结果不一样。我们仔细研究可以发现，按第一种说法去做，它有不完整的一面。事实上，“”的否定除了它的对立面“”外，还应包括无意义的情形，即其否定应该是：，所以按第一种说法得到的是错误的，从而导致答案错误。

另外，从集合的角度来看，也应该是第二种说法比较合理。如果将命题q看作集合A，则命题q的否定应该是（其中I是全集），而，即由A以外的元素组成的，因此，命题的否定应该是原命题以外的情形。

2、全称量词命题和存在量词命题的否定

2.1  简单命题的分类

简单命题的结构是：主项、联项、宾项以及修饰主项或宾项的量项。例如，所有整数都是有理数。其中“整数”是主项，“有理数”是宾项，“都是”是联项，“所有”是量项。根据修饰主项的量项所表示的数量，可将简单命题分为单称命题、特称命题（人教A版中叫存在量词命题）和全称命题：

单称命题：主项反映的是一类对象中的个别对象，如：2是偶数；

特称命题：主项反映的是一类对象中的部分对象，如：有些奇数数是质数。这类命题中修饰主项的量项常用“有些”、“存在”、“至少有一个”等词语表达；

全称命题：主项反映的是一类对象中的全体，如：所有整数都是有理数。这类命题中修饰主项的量项常用“一切”、“所有”、“每一个”、“任意一个”等词语表达。

2.2   简单命题的否定

2.2.1单称命题的否定

单称命题的否定极为简单，只要否定“联项”即可．例如“2是偶数”的否定为“2不是偶数”；“方程没有实数根”的否定是“方程有实数根”。

2.2.2全称命题和特称命题的否定

对这两类命题进行否定时，不能只否定“联项”，否则将产生矛盾。如命题t：所有实数的平方是正数，如果将它的否定写成：所有实数的平方不是正数，这样命题t和它的否定都是假命题，这也是一些学生常犯的错误。

一般地，对这两类命题进行否定时，既要对“联项”进行否定，又要对“量项”进行否定。其法则是：在“量项“上，全称与特称互为否定；在“联项”上，肯定与否定互为否定．如上述命题t的否定应该是：存在实数，其平方不是正数。

这里出问题最多的是：当命题中省略了“任何、任意、所有或存在、有的、有些”等量词时，学生会把他们当作单称命题来作否定，这样就会会导致矛盾。如命题n：实数的平方是正数，则n：实数的平方不是正数，这样原命题和它的否定都是假命题，这显然不对。事实上由于实数是一个全称概念，命题n应为“所有实数的平方是正数”，故其否定形式可写成“存在实数使其平方不是正数”．

在常见的“若p，则q”的命题中，往往也是省略了量词的。如：若，则，有人认为其否定是“若，则”（人教A版必修一P32第6题节选），这样原命题及其否定都是假命题，这显然不可能。其实，原命题的对象是任意大于1的，故其否定应该是“”，这样才正确。

对于这类省略了量词的命题，其否定方法是：首先，一定要使其隐含的量词显化，再根据量词类型进行否定。

另外，我们常用“都是”表示全称肯定，用“不都是”表示特称否定，这两者互为否定；而用“都不是”表示全称否定，它的否定形式是特称肯定，可用“至少有一个是”来表达．

弄清了否定的含义，掌握了含量项的命题的否定的规则，我们就可以正确地写出有关命题的否定，包括“或”、“且”形式的复合命题。