借操作之“形”,蕴思维之“神”

借操作之“形”,蕴思维之“神”

孔妍懿

宁波大学教师教育学院  315211

【摘要】思维是数学的灵魂，数学教育的主要功能应是帮助学生学会思维。数学研究的内容是抽象的，而我们低段学生的思维是以具体形象思维为主，那在一线的数学教学中，又何以将抽象化的内容形象化呢？于是，我借助动手操作之手段，通过让学生在操作中做到诱思考、建模型、得方法、归经验的四种方法，努力让操作在数学课堂上发挥最大的效益，不断提高学生思维的品质,真正做到借操作之“形”, 让学生想得更清晰、更深入、更全面、更合理；蕴思维之“神”，让我们的数学课堂真正成为思考的课堂、思维的殿堂。

【关键词】  操作  思维

数学教育的主要功能应是帮助学生学会思维。郑毓信曾经说过：“我们的学生一直在做,一直在动手,但就是不想!”结合我们的教学，被动地动手和在教师牵引下的操作,使得学生的思维水平并没有得到提升。教师应通过适当的引导将学生的注意力由单纯的“动手”引向“动脑”，从而不断地提高思维的品质。

   在见习中，笔者有幸观摩了几位老师执教育人教版数学广角的《搭配中的数学问题》、《分类与整理》、《搭配》和《剪一剪》这几节课，深有感触。发现老师们通过在操作中诱思考、建模型、得方法、归经验这四个层次加以引导，不断地激发学生思考，让学生的思想在碰撞中升华，智慧在交锋中闪烁，真正做到借操作之“形”,蕴思维之“神”，使操作在数学课堂上发挥最大的效益。

一、操作中诱思考，营造思维场

操作是离不开思考的，动手操作应与数学思维紧密结合。如果只是在教师指令下按部就班地操作，学生容易沦为工具，失去探究的兴趣。教师可以通过让学生自主随意地操作，巧妙设问，从“歧途”回归，从而诱发学生有方向性的思考，去发现和感悟，营造思维场，指向有效的操作。

（一）静待“歧途之旅”

任何一位教师，都希望自己的课堂教学精致高效。事实上，平常总会遇到这样那样的

小遗憾。若是因势利导，走出歧途便是正道。因此，适当的时候，教师可以多一份耐心，静待学生的“歧途之旅”，使之成为课堂教学的助力。很多学生动手操作时，一拿到学具，就不假思索地随意摆弄，花费时间比较多，可能还得不出正确的结果。

比如在三上的拼角活动中，要想拼成钝角，如果拿到手就拼，必然出现很多重复和遗漏的情况，学生的反馈的时候也容易表述不清。

    虽说操作最怕盲目, 导致操作低效甚至是无效，但是，为了让学生养成思考性的操作习惯和思维能力，提供契机，偶尔让学生盲目一回，又何妨？

（二）善设“发现之问”

教师让学生尝试自己动手操作。学生无论成败，在操作之后都会有一定的感悟。教师示范操作，让学生对教师和自己的操作过程与加以比较，引导说出自己的发现和感悟。如上例，教师可设问：如何避免在拼角时出现重复或遗漏的情况？学生结合教师的示范操作，思考后知道要先标上角1、角2区别开来，再经历拼、画的过程，让动手操作方向更明确，自己完成的速度更快，效率更高。

这样的“经历”，学生会有种认同感，操作也不会只停留在低水平上，学生反过头来会理解操作的意义。同时，也会让学生更加深刻认识到磨刀不误砍柴功，动手操作，一定要想好了再做。

（三）巧现“思考之果”

操作是手段，是学生思维下的产物。有时候看似脱离了操作，只在思考，实为内隐和外显的一种表现，他们都有着明确的目的性和高度的思维含量，这是一个外在活动与内在思考结合的过程。教师引导学生将自己的操作成果，以个性化的形式呈现出来，借此诱发学生更深入的思考。

  比如在三上的“集合”一课中，在出示四（5）班第一小组奖到红花的有：丁含、王雨奇、余强、张佳；奖到紫花的有:陈一、张佳、丁含后，要求四（5）班第一小组共有几名学生？要求4人小组合作，“我当小小的设计师”请学生画出简单而又喜欢的图，在图中，要让人一眼看出哪些人奖到红花？哪些人奖到紫花？哪些人既奖到红花，又奖到紫花？学生的思维呈现不同的层次：表格写字的、表格打勾的、画3个互不交集的圆的、画韦恩图的。（如图2）

    思维始于动作,动作是现有思维的外化表现。操作在外，思维在内，既要动手操作，又要动脑思考，并将操作成果个性化呈现，使动手和动脑紧密结合，“做”“思”互促。

二、操作中建模型，直击思维本质

动手操作是为学生的自主构建学习服务的。故此，在诱发学生在 “动手”、“动脑”相结合的基础上，需要加大思维含量，让操作活动和想像、表达、推理等充分融合，提升思维的层次，帮助学生学会建构数学模型，直击数学的本质。

（一）从具体走向抽象

   从具体素材中提炼出模型的最初表征，可以从具体走向抽象。这主要是培养的辨识能力和关联能力。教师可以引导学生进行先观察，再分类，提取具体素材中的信息，辨识内在的关联，建构模型，促进有效的数学思考。

    比如，一下的《分类与整理》一课中，图形从零乱走向有序，并从形象具体的图形走向表格的形式(如图3)，学生通过摆、圈、数、比，一堆堆地摆还是对对齐地摆；按照颜色摆还是按照形状摆，学生经过比较，有了最初象形统计图的模糊意识，再让学生从表象中抽离出数学化的数据，找到最本质的特点。

图3

在动手操作中，激活学生的多重思维，引导他们将已知的具象，加以优化，从无序走

向有序，从“看得见”的素材中，得出原先“看不见”的结果，找到图形背后隐藏的数学本质。在这样的亲身历练中，更灵活地发散了学生的思维路径，更真实地提高了学生的思维品质。

（二）从表征走向符号化

在动手操作中，如果数学模型直接出示，学生理解不了并很糊涂，可以通过操作将其剥茧抽丝，一层层暴露在学生的视线中，将整个模型动态化，在动态的操作过程中又一步步定格在静止状态，让学生有充足的时间加以比较、感知，通过进一步的体验和思考，真正地理解并建构出自己的数学模型。

比如，三下的《搭配中的数学问题》一课中，学生的思维层层递进，从文字到画图再到用字母符号来表示，最后到算式来表达。（如图4）

图4                          

教师通过剥茧抽丝，台阶搭建，动态化再现模型建构的过程与方法，促使学生学会辨析模型建构的素材，理顺模型建构的思维，而不是通过替代式的呈现，亦或是惯性的告知。从表征走向符号化，融合了观察、推理、论证等多种思维方式的运用，引领学生经历了深度思维的加工过程。

三、操作中得方法，攀升思维力

    数学中的方法都是相通的，通过梯度操作，由浅入深，可多角度、多层次、多方位地加以观察和分析，将新旧知识和方法打通，积累经验，灵活运用各种方法，使思维得到更有力地生长。下面以“剪一剪”一课为例。

（一）由扶到放，自主感知

扶是为了总结方法，放是为了将总结的方法再次应用。一味地放只是浪费时间，一味地扶又阻碍了思维了发展。

比如剪一个人，通过观察图片，学生发现这是个轴对称的图形，于是提出可以通过对折只要画半个就可以了，还没等介绍该怎么画，他们就已经迫不及待地开始自己对折、画一画、剪一剪。结果可想而知，有的人成功了，有的人剪成了2个“半人”，这是为什么？学生独立思考,发现根源在画,画的半边图形要画在折痕这边,而不是分开的那边，这样才不会断掉。

这环节的原有设计其实是“思考讨论——观察示范画——动手操作”，如果按原有的计划执行，教学过程会顺利很多，学生估计也不会一而再再而三的出现失败，但是他们对于其中的奥妙肯定没有像片段中这样理解的这么透彻。别人告诉你的不如自己感受到的。因此在一节课上我们可以从眼、口、耳、手等多方面让学生动起来、做起来，真正参与到课堂中来。

（二）横纵对比，透析精髓

此处的横向比较，指的是在同一项动手操作中，学生个体与个体之间进行的比较。它能够使学生察觉自己与他人的操作差异，从而认识到这一操作活动中存在的差异与问题，思索其中的一般规律，避免认识上的局限与狭溢。纵向比较是指学生把自己的前后两项操作，进行比较，从而帮助发现问题并找到解决的方法，更好地把握正确操作的要领。

比如剪2个手牵手的人时，因为有了剪一个人的基础，这时布置同桌之间先讨论下该怎么折、怎么画，2人之间合作的不错都提出需要对折两次，画法和刚才一样，于是进行了第二次的操作。却还是有小部分学生没有剪成功，因为在画“手”这部分出现了问题，没有画到边上，导致连不起来。把他们的画法纵向上和剪一个人时的画法对比，在横向上与剪对了的学生对比，发现依旧是画法的问题。

纵向比较深度上是递进的，横向比较广度上会丰满起来，操作中融入横纵对比，从多个角度深入探究症结所在。整体上学生的方法上由单一变多元，认知上由肤浅变深刻，学生的思维由薄变厚。

（三）猜想验证，对应求联

通过猜想加以验证，通过实验举个反例，学生一边在动手操作，一边经历了整个过程，体会到知识背后

的方法，此时，他们的新旧知识被连贯在一起，也在操作中积累了丰富的经验和方法。

比如剪4个人连在一起时，让学生先思考、猜测需要对折几次，根根据前面的经验，他们是毫不犹豫的说“1个对折1次，2个对折2次，那4个当然是对折4次了。”只有个别学生提出“3次就够了”。面对这样的争议，亲自动手操作才是最好的选择，为什么只要对折3次就够了？　　　　　　

学生发现对折2次就可以剪出2个，那么再对折1次，剪出的小纸人的个数就是原来的个数乘2。也有学生补充对折2次就可以剪出2个人，再对折一次，每边都会增加1个，这就等同于增加了2个，所以只要对折3次。（如图５）

那如果对折4次再剪呢？有学生举着8个连起来的图，发现对折了4次，能剪8个人。

（一层一层地展开演示：对折1 次，2 片，1个人；对折 2次，4片，2个人；对折3次、4次……依次把表格填写完整。）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

    最后教师可以指黑板上的表格，引导学生去发现对折的次数与人个数之间的关系。（如表１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

折纸是难点，画图是关键。从剪出1个小纸人到剪出2个连在一起的小纸人，再剪出4个连在一起的小纸人以及到课后拓展的剪法，在一次次冲突中，通过交流“怎样剪”“为什么这样剪”“还可以怎样剪”等问题，使方法得到共享，猜想得到验证，还可以请学生思考有没有一个特例是不符合上面表格发现的规律的。猜想验证，对应求联，让班内学生的思维，恣意地生长，节节攀升。

四、操作中归经验，拓展思维张力

   有效的回顾总结，能有条理地帮助学生梳理出一个清晰的脉络，提炼出经验，由此及彼，实现正迁移；逻辑推理后，进行逆思考和变式；推而广之，引发学生进一步思考，从而学生拓展思维的张力。

（一）提炼经验，实现正迁移

    通过对整个操作活动进行回顾、重复、修正，使学生在这个过程中体验、感悟知识的形成，提炼了经验，由此及彼，实现正迁移。

比如,在三上的“分数的初步认识”一课中，在认识了圆中的分数后，问学生：除了圆，你能在其它的形状上找出1/4 吗？学生马上举一反三找到了如下所示的1/4，很快，学生发现图6中的第3种和第4种分法肯定是对的，第2种分法是错误的，它并没有平均分，第1种和第1种分法学生一时间无法判定对错。

图6

迁移是一种能力，也是一种数学思维。提炼出操作中的经验，学生学会用数学思维，去思考并解决相类似的数学问题，获得富有生命力的知识、思想和方法，达到了知识技能的迁移，数学思想和思维方法的迁移。

（二）逻辑推理，进行逆思维

学生把握住了核心，已经在顺迁移的反复操作中领悟到了经验，获得了最基本的解决问题的能力。反复的刺激容易让学生思维疲劳，逆思考、变式的出现可以给学生当头一棒，让他们不得不对信息进行重组，适时地加以推理。

    比如在三下《搭配中的数学问题》一课的最后一题中，问：约翰叔叔有一些衬衫和领带，一共可以有12种不同的穿法，猜一猜约翰叔叔可能会有几件衬衫和几条领带？（如图７）

　　　　　　　　　　　　　　　图7

   充分挖掘操作中的变化因素、互反因素，让学生的思维向不同的方向，甚至是对立的方向发展，扭转思维定势的局面，促使学生在原有基础上，进行多重推理，有效促进思维的变向发展。

（三）推广策略，变中见“不变”

    创造性思维是个人发展的必要条件，是民族发展的需求。以一成十，以点成线，以线成面，连点成片，使得学生的思维从孤立走向逐步的完整。推而广之，从一个问题推广到另一个问题，从一个领域拓宽到另一个领域，引发学生进一步思考。

    比如，除了剪小纸人，还可以剪爱心、小花、蝴蝶……，不管剪什么，只要是对称图形就可以，（出示剪好的围起来的4个手牵手的纸人）如果要剪这样的作品，你觉得该怎么剪呢？              

创造能力的培养不是一朝一夕就可以的，要使他们的创造能力被激发和提升，需要在平时的教学中潜移默化的渗透。即使瞬息万变，也是万变不离其宗，数学思维和方法始终贯穿其中。

总之，动手操作只是手段，思维才是数学的灵魂。通过让学生在操作中做到诱思考、建模型、得方法、归经验这几个方面，努力让操作在数学课堂上发挥最大的效益，真正做到借操作之“形”, 让学生想得更清晰、更深入、更全面、更合理，最终蕴思维之“神”，让我们的数学课堂真正成为思考的课堂，思维的殿堂。