学生解题严密性受阻浅析

(整期优先)网络出版时间:2010-12-22
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学生解题严密性受阻浅析

徐其学

关键词:数学教学实践;逻辑思维能力;素质

作者简介:徐其学,任教于浙江省宁波市镇海区蛟川书院。

数学能使人思维严密,考虑问题全面、周密而不遗漏。作为数学教师在数学实践中,应遵循数学教学规律,把握数学学科特点,培养学生严密的逻辑思维能力,准确的推理判断能力,才能全面提高学生素质。

在具体指导学生解题时,要求学生周密地考虑题目所提出的全部问题,一览无遗地解出全部结果;不合题意的解应当舍去;含有参数的应根据它的不同取值范围分别作出讨论;有些题目无解,应说明理由等等。这些都是解数学题必须遵循的一些基本原则。而许多学生解题时,缺乏严密的思考,添三漏四或画蛇添足,解题不严密,中考时失分率高。所以,加强对学生解题严密性受阻的原因研究很有必要。

一、片面理解数学概念,没有弄清它的内涵和外延

数学概念是严密的,它是判断、推理的基础,也是数学运算和论证的基础,学生在数学运算和论证方面出错,多是因对概念的理解不全面,没有真正对它的内涵和外延理解透彻,极易造成解题不严密。

这里学生曲解了“同类项”这个概念,因为同类项只有在整式的范畴里定义,故只能有一解xy=2。

二、只注重应用定理、定义、公式、法则,忽视它们成立的条件

一个数学定理、定义、公式、法则总是在一定条件下成立,往往有些学生在解题时,极易忽视它们成立的条件,造成解题不严密。

例3:若函数是反比例函数,求m的值。

错解:由题意知m2-m-7=-1,m1=-2,m2=3,∴m=-2或3。这里忽视反比例函数定义y=成立的条件k≠0,当m=-2时,k=2m+4=0,故m=-2舍会,∴m=3。

例4:若方程m2x2-(2m-3)x+1=0有两个实根,求m的取值范围。

错解:△=〔-(2m-3)〕2-4m2=-12m+9≥0,∴m=

因为此题方程有两个实根,故必为一元二次方程,而定义中二次项系数a≠0,应考虑m2≠0,

∴m≠0

三、只考虑一般情况,忽视特殊情况

许多题目在一般情况下有解,在特殊情况下解仍然存在,而有些学生在解题时,往往忽视了特殊情况,导致解题不严密。

例5:求证:k无论取何值,关于x的方程(k-3)x2+kx+1=0必有实数根。

错解:∵△=k2-4(k-3)=k2-4k+12=(k+2)2+8>0,∴原方程有实数根。

此解法似乎无懈可击,殊不知,它忽视了一种特殊情况。若k-3=0,它是一元一次方程,3x-1=0仍然有解x=,所以应将其补充完整,才是严密的解题过程。

例6:判断正误:平分弦的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧。

许多学生误认为是正确的,不妨看下面图形,弦CD过圆心,直径AB随意画都满足条件平分弦CD,但AB不一定与CD垂直。这里忽视了圆中的特殊弦(直径),导致误判而失分。

四、只注重题目中已知条件,忽视了隐含条件

从某种意义上讲,解数学题就是充分利用已知条件,更多的是隐含条件进行推理或运算的过程,所以,充分挖掘隐含条件进行推理或运算的过程,得出精解、完整的结论,问题就可迎刃而解。

例7:已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0的两实根互为倒数,求k的值。

误解:∵x1x2==1,∴k=±1

此题只从表面上看,两根互为倒数,得出k的值,但忽视了隐含条件△>0,由△>0得出k<,

∴k=1舍去,∴k=-1

五、只注重充分条件,忽视必要条件

一个命题具有充分而非必要条件时,则它的逆命题为假,而有些学生在解题时,往往把充分条件看作充要条件来用,导致解题不严密。

例8:关于x的方程x2-11x+30+a=0的两个实数根均大于5,求a的取值范围。

错解:设x1,x2是方程两根,则x1+x2=11>0,x1x2=30+a>25,∴a>-5,又∵△=112-4(30+a)≥0,得A≤1/4,-5<a≤

此解法只考虑x1>5,x2>5是结论,x1x2>25的充分条件,但反过来x1x2>25未必能保证x1>5,x2>5,它不是题设的必要条件,应当找出两根都大于5的充要条件:△≥0,(x1-5)(x2-5)>0,(x1-5)+(x2-5)>0,(x1-5)+(x2-5)>0,从而得出正确答案0<a<。

六、只注重数学意义,忽视实际意义

在研究实际问题时,可把它转化为数学问题,而通过数学运算或推理得出多个解。在符合数学意义的解中,若与实际情况相违背,则把此解舍去,而有些学生往往只注重了数学意义,把实际意义忽视了,导致解题不严密。

例9:某礼堂共有25排座位,第一排20个座位,后面每排比前一排多一个座位,写出每排座位数m与这排的排数n的函数关系式,并求出自变量n的取值范围。

错把n的取值范围写出n>0,实际上n是表示排数只能取整数,∴1≤n≤25的整数,才是正确答案。

七、“默认”条件,导致解题不严密

由于解题的需要,学生往往在解题过程中,自觉或不自觉地添加条件。本来这些条件是完全可能通过已知推理或运算得出来的,而没有经过论证或运算却默认了,在解题中直接应用,从而导致解题不严密。

例10:如图AB是直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点CD在圆上,∠CAB=30°,求证DC是⊙O的切线。

连结OC、BC后,需证OC⊥BD,学生极易忽视证明BC=OB=BD,由于图形的直观性而考生已经默认了“BC=OD”这个结论,从而导致解题不严密。

八、题目有多种情况,忽视分情况解答

有些题目,根据题意在画图时有两种或两种以上情况,而学生往往只考虑一种情况去解答。

例11:在半径为5cm⊙O中,弦AB=8cm,CD=6cm且AB∥CD,求两弦之间的距离。

有些学生在画图时,只画一种情况:弦AB、CD在圆心O的两侧,由垂径定理,勾股定理算得两弦的弦心距分别是3cm,4cm,故两弦之间距离等于7cm。

此解法忽视了另一种情况,圆心在两弦两侧,此时两弦的距离为4-3=1cm

再例:甲乙两车同时分别从相距180千米的A、B两地相向出发,已知甲速70千米/时,乙速60千米/时。问经过多少小时,两车相距50千米?

学生往往只列一种情况的方程(70+60)x=180-50,还有一种情况很容易被忽视,即相遇后,甲、乙继续前进若干小时,又一次相距50千米,∴(70+60)x=180+50。

像这样多种情况的数学题目很多,也是学生常出现错误的一大类题型,所以,教师在教学实践中要加强对一题多解、一题多变、一题多种情况的训练,培养发散思维及严谨思维的能力,逐步提高学生解题的严密性。

作者单位:浙江省宁波市镇海区蛟川书院

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