基于APOS理论的定积分概念教学探讨

基于APOS理论的定积分概念教学探讨

杨祥永

杨祥永（潍坊市经济学校山东潍坊262200）

摘要：基于APOS理论，文章探讨了定积分概念教学的四个阶段，即操作阶段、过程阶段、对象阶段、概型阶段，可以帮助学生形成较稳定的数学概念心理图式。

关键词：APOS理论定积分概念教学

定积分是高等数学最重要的概念之一，它来源于实际问题，又是其它各种积分的基础。定积分概念本身体现了微积分的基本思想方法——极限思想方法，因此，讲好定积分的概念，使学生深刻理解概念的内涵、掌握其中的思想方法是一个值得研究的课题。本文结合APOS理论，谈了谈在定积分概念的教学中所采取一些做法和体会。

一、APOS理论概述

杜宾斯基等人在20世纪80年代针对数学学习的特点，在建构主义背景下提出了APOS理论。APOS分别是由英文“操作（Action）”、“过程（Process）”、“对象（Object）”、“概型（Scheme）”的第一个字母组合而成，该理论认为数学概念的学习需要经历这四个阶段。“活动阶段”，学生理解了概念的直观背景和概念间的关系；“过程阶段”，学生对“活动操作阶段”进行思考，经历内化压缩的过程；学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质，对其赋予形式化的定义和符号，这时成为“对象”，认识进入“对象阶段”；随着学习深入，以此为对象进行新的活动，进入到“概型阶段”，包括反映概念的特例、抽象过程、定义和符号，最终形成综合的心理图式。

二、基于APOS理论的定积分概念教学过程的设计

1.操作阶段，引入定积分的概念。概念的引入阶段应充分考虑学生的认知规律,体现直观性、可接受性原则。我在教学过程中设计了如下问题。

问题1：怎么样知道一片树叶一面的面积？学生的答复一般是网格法，即将树叶盖住有方格的纸片，然后用铅笔画出其边界，数数边界内方格的个数，边界部分对应的方格四舍五入，就可知道树叶的大概面积。网格越密测得的面积越精确，进而带领学生透彻讨论：①网格无限密会如何？②“有限”与“无限”有何区别？③能否用“线型法”（即用n条等距的平行直线分割树叶）测得树叶的面积？经过这类难题的讨论，为定积分概念的实例——曲边梯形的面积难题的处理打下了十分好的基础。

问题2：如何求曲边梯形的面积？引导学生得到曲边梯形面积可分以下四步完成：分割、近似、求和、取极限。

问题3：如何求变速直线运动的路程？以启发为主，与学生一起进行简单的研究，带领学生得出类似的结论。

在讲解与研究整个过程中，强调“曲”与“直”、“变”与“不变”的转化，使学生在学习整个过程中充实体会极限的思想与方法。讲完两实例后，可以要求学生思考：在生活与实际工作中，你还能找出哪些难题与上述难题类似？

通过“活动”阶段,可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲及创造力,更能激发出学生努力超越旧理论的局限,去构建新理论的信心和内在驱动力。

2.过程(Process)阶段，概括表述定积分的概念。在教学中应充分发挥学生主体能动性，给学生营造一个“创造、发现”的心境，再造心智活动过程，贯彻发现法的教育原则。从认知角度分析，学生经过对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，在头脑中对“活动”进行描述和反思，将抽象出特定概念所特有的性质，即概括出定积分概念的定义。

通过层层设问，应达成以下共识：

（1）问题的性质是一样的，都是在一定范围内求整体量的问题。

（2）遇到的矛盾是类似的，都是涉及变化的量，用初等方法无法解决。

（3）解决的方法是相同的，都是采用极限的思想方法，先局部代替得近似值，再用极限将近似转化为精确。

（4）处理的步骤是统一的，都是“分割、近似、求和、取极限”四步。

（5）所得结论的形式是一样的，都是一个特定结构的“和式极限”。

总结这几例的同时，要着重指出实际中还有很多类似的问题，它们都可以归结到此类相同的数学形式，因此要对这种形式进行研究。

3.对象(Object)阶段，分析解剖定积分的概念。对象阶段是通过前面的活动和抽象，认识了概念的本质，对其赋予形式化的定义和符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，并在以后的学习中以此对象去进行新的活动，此对象就转变为即将被操作的“实体”。在这一阶段，关键是让学生理解这一等式：1imf（ξi）△xi=f（x）dx，并注意其中符号的意义与对应关系：△xidx，f（ξi）f（x），f（ξi）△xif（x）dx表示小矩形面积，1im表示无限累积，从而在整体上把定积分理解成一种和式极限。

4.概型阶段，建立综合的心理图式。这一阶段是定积分概念理解的深层阶段。这个阶段不是通过课上当时就可以完成的,它需要头脑中有个建构的过程,随着对定积分概念认识的深入、接触问题的增多、各种积分表达式的学习深化,认识、建构过程也逐步完善。

参考文献

[1]徐立英张丽娜APOS理论对函数概念教学的启示和应用.高等教育研究，2007（9）。

[2]田慧琴基于APOS理论的高等数学概念教学模式.山西警官高等专科学校学报，2008（7）。