数形结合在解题中的应用

数形结合在解题中的应用

孙丽晶

关键词：数形结合；几何意义；应用

作者简介：孙丽晶，任教于辽宁省大连市金州高级中学。

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。数与形是数学的两种表达形式，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观。将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简，从而得到解决。它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面。本文将以几道例题为例，举例说明“数中思形，以形助数”在解决问题中的一些妙用。

例1：如果实数x.y满足等式，求的最大值。

解：等式表示以(2,0)为圆心,以为半径的圆。表示圆上的点与原点连线的斜率。当与⊙相切，且切点落在第一象限时，斜率有最大值，即有最大值。所以=。

例2：已知实数x.y满足方程的最小值，并求出此时x.y对应的值。

解：的几何意义是表示直线上的动点与两定点的距离之和。当且仅当P、A、B三点共线时.此时直线AB方程的是8x+3y-7=0由

变式（1）：求的最小值。

（2）已知

分析：（1）的几何意义是两点之间的距离的平方。点A在半圆上,即在上,点B在双曲线的一支上，即在上。由三角形性质,由不等式性质得，所以。所以。

与复数有关的问题可利用复数模与四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。如（2）的几何意义是复平面上以原点为圆心，以为半径的圆周及圆内部。表示复平面上z对应的点与-1对应的点的距离。得。所以。

从这几道题我们可以清楚的看到，从题目所给的式子中找到有关的图形，由图形的性质并结合图形中点的位置找出了更深一层的数量关系，从而得到解题的方法。

例3：(1)比较的大小；(2)已知非零向量\s\up5(→(→)、\s\up5(→(→)且|\s\up5(→(→)|=|\s\up5(→(→)|=1，|\s\up5(→(→)＋\s\up5(→(→)|=，求|\s\up5(→(→)﹣\s\up5(→(→)|。

分析：以上两题虽然没有明显的几何意义，但是根据数的特征，可构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题。

解：(1)如果考虑用函数单调性去解决这道题，将比较困难。若根据反三角函数的性质将两式理解为已知函数值的锐角，问题将迎刃而解。如图5构造直角三角形ABC,则,。

(2)根据向量运算的几何意义，如图6构造平行四边形OACB，则|\s\up5(→(→)|=|\s\up5(→(→)|=1，|\s\up5(→(→)|=|\s\up5(→(→)|=1，在△OAC中，由余弦定理得cos∠OAC=﹣，|\s\up5(→(→)|=|\s\up5(→(→)+\s\up5(→(→)|=，|\s\up5(→(→)|=|\s\up5(→(→)﹣\s\up5(→(→)|∴∠OAC=120?，∴∠AOB=60?即△OAB是正三角形∴|\s\up5(→(→)﹣\s\up5(→(→)|=|\s\up5(→(→)|=1。

一般地，对方程的解，不等式的解集，函数的性质等进行讨论时可以借助图象直观解决，简单明了。

例4：求方程的解的个数。

解：此方程解的个数为的图象与的图象的交点个数。如图7可直观地看出两曲线有3个交点。

变式（1）：曲线与直线y=k（x-2）+2有两个交点，求实数k范围。

（2）：方程，的解分别是，求

分析：（1）曲线（0≤x≤2）的图象是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方（包括x轴）的部分。直线y=k（x-2）+2是过定点P（2，2）斜率为k的直线。在同一直角坐标系中，分别做出它们的图象。其中过原点，与上半圆相切，符合条件的直线介于、之间（包括，不包括）。通过计算求得的斜率为1，的斜率为。所以。

(2)直接求方程的解比较困难，如图9，即A、B点关于C点对称，C点横坐标是，所以

例5：解不等式

解：设，即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数的图象是一条直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是

例6：若数列为等差数列，，求

解：设=m,由于等差数列中，关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p，q），（q，p），（p＋q，m）共线。不妨设p＜q，则即。解得m=0即=0。

对数量关系做出形的解释，挖掘其中形的因素，利用形的直观，开拓解题思路。总之数形结合的思想是重要的数学思想之一，要深刻了解到数形结合在整个数学学习中乃至整个数学领域中所起到的举足轻重的作用。从而提高解题能力，提高思维的灵活性和创造性。

参考文献：

[1]刘焕芬.巧用数形结合思想解题[J].数学通报，2005(1).

[2]符平和.数思形形觅数数形结合百般好[J].辽宁教育行政学院学报，2001(10).

作者单位：辽宁省大连市金州高级中学

邮政编码：116100

OntheApplicationofNumber-shapeCombinationinProblem-solving

SunLijing

Abstract:Thispaperdemonstratesthespecificapplicationofnumber-shapecombinationinproblem-solving.

Keywords:number-shapecombination;geometricsignificance;application