二面角求值方法八种

二面角求值方法八种

刘和辉

二面角求值方法八种

刘和辉

云南省维西县第一中学（674600）

【摘要】在奥妙无穷的空间形式里，二面角的平面角总是以量的大小决定着某些图形的空间形式，使得立体几何研究中，求二面角的大小成为了一个“角量计算”的重要内容。那么怎样去求二面角的大小呢？笔者通过自身的实践，总结出常见的八种求法。

【关键词】二面角；二面角求值；八种1定义法

11定义：二面角求值的“定义法”就是依二面角的平面角的定义，通过对线线垂直关系的研究，首先将空间角转化为平面角，然后依据解三角形的相关知识或某些公理体系的保证求出这个平面角，从而达到求二面角大小的数学方法。它体现了“回到定义中去”是数学解题的根本方法。

12用“定义法”求二面角大小的解题思路是：求作二面角的平面角→证明这个平面角是所求→解出这个二面角。

13求作二面角的平面角应把握的原则：先找后作。常见的作法有两种：其一，根据定义或图形的特征作。其二，根据三垂线定理（或逆定理）作。此法难点在于找到平面的垂线，解决的办法：先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理找到面的垂线，作棱的垂线，连接垂足与面的垂线的端点，利用线线垂直得出所求角是二面角的平面角。

14常见的线线垂直的判断方法有：①三垂线定理及逆定理。②等腰三角形“中线是高线”的性质。③勾股定理的逆定理。④菱形对角线互相垂直的性质。⑤线面垂直则线线垂直的性质。⑥同一法（有公共边的全等三角形中，公共边上的垂足相同）

例1（2005年全国卷Ⅰ.18）：已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点，求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小。

解：过点A作AN⊥CM，垂足为N，连BN，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，连QN，QC，由三垂线的逆定理知：MC⊥NQ，由三垂线定理知：BN⊥MC，故∠ANB为所求二面角的平面角。

由勾股定理的逆定理知：BC⊥AC，再由三垂线定理知：BC⊥PC，由直角三角形中线的性质有：MA=MC，由等面积求高法知：AN=NB=305，在△ANB中，由余弦定理有：cos∠ANB=AN2+BN2-AB22AN·BN=-23，从而所求二面角的大小是：π-arccos23

题评：本例也可以先证△AMC≌△BMC，再利用“同一法”得出BN⊥MC。本问题求解的过程，涵盖了“利用三垂线定理及逆命题研究线线垂直”，“已知三角形三边长求三角形面积或某一内角”，“等面积求高法”，“同一法”。这在常规常法的解题训练中无疑是一道好题。

2向量法

21定义：“向量法”就是利用向量的相关知识达到解证几何问题的数学方法。它的本质特征就是实现几何问题的代数化。

22利用“向量法”求二面角大小的解题思路是：建立空间直角坐标系→写出相关点的坐标→向量的坐标运算→作答

23注意事项：①建空间直角坐标系时，三轴所在的直线必须保证两两垂直并遵循“右手系”法则。②写点时必须理解中，的定义，正确写出相关点的坐标。③平面的法向量的确定最实在的方法是矢量法。即：平面α内有不重合的两向量ab且a=（x1,y1,z1），b=（x2,y2,z2），则平面α的法向量n=a×b(|y1,z1y2,z2|,|x1,z1x2,z2|,|x1,y1x2,y2|)=(y1z1-y2z1,x2z1-x1z2,x1y2-x2y1)，其中行列式|x1,y1x2,y2|=x1y2-x2y1，注意是右手系。④向向角与面面角间的关系：n1是平面α的法向量，n2是平面β的法向量，“向向角”<n1，n2≥θ，Φ是二面角α-ι-β的平面角，利用cos＜n1，n2≥cosθ=n1·n2|n1|·|n2|求θ时，应处理好“向向角”与“面面角”间的依赖关系，当Φ在图中是锐角形象时，cosΦ=|n1·n2|n1|·|n2||，当Φ在图中是钝角形象时，cosΦ=|n1·n2|n1|·|n2||，事实上“向向角”θ与“面面角”Φ的依赖关系见下图示：

例2（2008全国卷II.19）如图所示，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且CE=3EC，求二面角A1-DE-B的大小。

解：如图建立空间直角坐标系D-xyz，则A1（2，0，4），D（0，0，0），E（0，2，1），B（2，2，0）

若记θ为二面角A1-DE-B的平面角，则cosφ=1442θaracos1442

题评：用向量法求二面角的大小，关键的问题是建好坐标系，写对点的坐标，然后在向量知识的演绎下即可神奇而方便地推导出几何性质的相关结论，这样的方法可避免二面角的作图。

3射影法

31射影定理：在大小为θ的二面角α-ι-β中，图F是α内面积为S的多边形，F在β上的正射影F'的面积为S'，则S'=S·cosθ

证明：不妨设F为△ABC，通过平移使得A，B∈ι，点在平面上的射影为C'，过点C作CE⊥ι，垂足为E，连C'E，由三垂线定理有∠CEC'=θ

32定义：在射影定理中，用cosθ=S'S求二面角大小的方法，称为射影法。

33用“射影法”求二面角大小的解题思路是：确定F和F'→求S和S'→求解二面角θ（或其补角）

求图形F上各顶点在平面β上的射影，就要研究线面垂直的关系，利用线面垂直的判定即可得到图形F上各顶点在平面β上对应的射影点，从而确定图形F'。

例3（2006年全国卷II理19，文20）：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB-BC，D为BB1的中点，设AA1=AC=2AB，求二面角A1-AD-C1的大小。

解：

则△C1AD在平面A1AD上的射影为△B1AD

又S'=S△ADB1=12［2AB2-22AB2]=24，令AB=1，则AC=2AB=2，AD=62=C1D在△ADC1中，由余弦定理有：cos∠ADC1=-13sin∠ADC1=223

又S=S△ADC1=12AD·DC1·sin∠ADC1=22，记θ是二面角A1AD-C1的平面角，由cosθ=S'S得：cosθ=12θ=π3

题评：一般地在直棱柱中寻找图形E中各点在另一面上的射影点较为方便，用“射影法”求二面角的大小可省去作图的累赘，只需求出对应三角形的面积，再由cosθ=S'S求出二面角的大小即可。

4异斜法

41异面直线上斜线长定理：a,b是异面直线，θ是a,b所成的角，d是a,b间的公垂线长，A∈a，B∈b，点A，B到公垂线的距离分别为m，n，则异面直线上斜线之长为：|AB|=m2+n2+d2±2mncosθ（点A,B在公垂线的同侧取负，在异侧取正）

证明：如图所示，PQ是a,b的公垂线，PQ=d，AP=m,BQ=n,过点Q作a'∥a，过点A作AA'⊥a'，垂足为A'，连结A'B，则AA'∥PQ=d，∠A'QB=θ，在△A'QB中，由余弦定理有：A'B2=m2+n2-2mncosθ，在Rt△AA'B中，由勾股定理有：AB=m2+n2+d2±2mncosθ（点A，B在公垂线的同侧时取正，异侧时取负）

42推论：在大小为θ的二面角α-ι-β中，A∈a，B∈b，点A，B到ι的距离分别为m，n，m，n间的公垂线段长为d，则斜线段之长为：AB=m2+n2±2mncosθ（如图示）

43由异面直线上斜线段长公式变形得：cosθ=m2+n2+d2-AB22mn，用此公式求二面角大小的方法称为“异斜法”。

44用“异斜法”求二面角大小的解题思路是：创建模型（异斜）→计算参数（m,n,d,AB）→公式求解。

例4（2007年全国卷II理19）：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=2DC，点E，F分别为PC和AB的中点，求二面角D-EF-A的大小。

解：设DC=1，则AD=2，过点D作DN⊥EF，垂足为N，取DC的中点K，连EK，FK，则EK瘙綊12PD

PD⊥平面ABCDEK⊥平面ABCDFK为在平面FE上的射影，由三垂线定理知：AF⊥FE

又DF=52=DE

EF=2S△DEF=64=12EF·DNDN=32

DF=52FN=22,记二面角D-EF-A的平面角为θ，则cosθ=AF2+DN2+FN2-AD22AF·DN=14+34+24-12·12·54=33

从而所求二面角D-EF-A的大小为arccos33

题评：用“异斜法”求二面角大小，关键在于构建“异斜”模型，求出相关参数m,n,d,AB后用公式加以求解即可，此法可省去二面角的平面角的作图。

5垂面法

51定义：1°同垂直于二面角的两个半平面的平面称为二面角的垂面。2°利用垂面的性质达到求二面角大小的方法称为“垂面法”。

52定理：在二面角α-ι-β内有一点P，点P到α,β的距离分另为a,b，点P到ι的距离为c，若θ是二面角α-ι-β的平面角，则：sinθ=ac2-b2+bc2-a2c2

证明：如图有：PA=a,PB=b

又

53利用“垂面法”求二面角大小的解题思路是：构建垂面→计算相关量→求出二面角。值得注意的是：图中∠AMB+∠APB=π，有时可根据题设条件先求∠APB，再用互补关系求∠AMB。

例5：在二面角α-ι-β内有一点P，点P到α，β的距离分别为22，4，点P到棱ι的距离为42，则二面角α-ι-β的大小为5π/12

解：直接运用公式即可求得sinθ=2+64θ=5π12

题评：具有垂面模型的二面角大小的求解若能直接运用公式方可做到又快又好。解题时一定要注意到垂面中的“四边形由两个直角三角形构成”，“四边形的对角互补”这些特征。

6体积法

61定理：在三棱锥P-ABC中，PA是棱锥的高，V锥表示棱锥的体积，S△PBC表示△PBC的面积，θ是侧面PBC与底面ABC的夹角，那么cosθ=3V锥S△PBC·PA

证明：过点P作PM⊥BC，垂足为M，过点A作AN⊥PM，垂足为N，连AM

62定义：用cosθ=3V锥S△PBC·AD求二面角大小的方法称为“体积法”。

63用“体积法”求二面角大小的解题思路是：构建模型→计算参数→求二面角的大小。

例6（2009年全国卷理18）：如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，BC的中点，DE⊥平面BCC1

①证明：AB=AC

②设二面角A-BD-C为60°，求B1C与平面BCD所成角的大小。

解①：取BC的中点M，连AM，EM

如图建坐标系，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，B(1，0，)，D(0，0，)，A(0，0，0)

从而线CB1与平面BDC所成的角为π2-π3=π6题评：互为前提条件的角量关系的研究是高考试题的一个热点，本题以二面角A-BD-C为60°作为条件，推导出：AD=22AC是解题的难点，而“体积法”的应用恰好能突破这个难点。

7三面角余弦法

71定义：1°角面：由角的两边所确定的平面；2°面角：构成角面的角；3°三面角：空间一点引三条不在同一平面的射线形成的三个二面角称为“三面角”，记为P(θ1-θ2-θ3)，P是三面角θ1，θ2，θ3的公共点（同二面角一样，三面角是空间图形，而不是一个量）；4°三面角中面角对应的二面角：在三面角P(θ1-θ2θ3)中，任取一面角，在异于这个面角两边的射线上找一点，过这点分别在其余两个角面内作垂直于射线的垂线，这两条垂线所夹的角即是这个面角对应的二面角。

72三面角余弦定理：在三面角P(θ1-θ2-θ)中，面角θ对应的二面角为Φ，则cosθ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosΦ

证明：如图，ι1,ι2,ι3是从空间点P引出的三条射线，在线ι1上取点A，过点A在角面θ1内作ι1的垂线交ι3于点B，过点A在角面θ1内作ι3的垂线交于点Q，连接AQ，BQ，则∠APQ=θ1，∠APB=θ2，∠BAQ=Φ。

不妨设AP=1，则PQ=1cosθ1，PB=1cosθ2，AB=tanθ2，AQ=tanθ1

由余弦定理知：

73由三面角的余弦定理有：cosΦ=cosθ-cosθ1cosθ2sinθ1sinθ2，由此求二面角大小的方法称为“三面角余弦法”。

74利用“三面角余弦法”求二面角大小的解题思路是：构建三面角→求相关参数的值→求二面角的大小。

例7（2009年全国卷II理18变式题）：在三棱锥D-ABC中，AB⊥AC，AB=AC，DA⊥平面ABC，二面角A-BD-C为60°，求证：AD=22AC

解：令AB=AC=1，AD=t，取BC的中点M，连DM，AM，由三垂线定理知：DM⊥BC

记θ1=∠DBA，θ=∠ABC=π4，θ对应的二面角Φ=60°

从而AD=22AC成立

题评：用三面角余弦定理解证问题省去了二面角的平面角的作图，使得求解思路明确，过程简捷。

8三面角正弦定理法

81三面角正弦定理：在三面角P(θ1-θ2-θ)中，面角θ1，θ2，θ对应的二面角分别是Φ1，Φ2，Φ，则有：sinθsinΦ=sinθ1sinΦ1=sinθ2sinΦ2（证明略）

82定义：用三面角正弦定理：sinθsinΦ=sinθ1sinΦ1=sinθ2sinΦ2求二面角大小的方法称为“三面角正弦法”。

83用“三面角正弦法”求二面角大小的解题思路是：构建三面角→求相关参数→用公式求二面角的大小。

84注意事项：在三面角P(θ1-θ2-θ)模型中一定要找对θ1，θ2，θ对应的二面角Φ1，Φ2，Φ。

例8（同例7）

解：取BC的中点M，连DM，AM，由三垂线定理知：DM⊥BC，设AB=AC=1，AD=t，则sinθ=sin45°=22，sinΦ=sin60°=32，sinθ1=t2+12t2+1,sinΦ1=sin90°=1

从而有：2232=t2+12t2+1t=22AD=22AC

题评：利用“三面角正弦定理”解证与二面角有关的几何命题，可做到：解题思路明确，过程流畅。

综上，给出了二面角求值的八种常见方法，每种方法相对独立又互为联系，解题时应根据题设条件所提供的几何模型，认真分析其特点，恰当选取解题的方法，不断提高分析问题和解决问题的能力，做到运用自如。

收稿日期：2010-3-23