关于新教材中排列组合问题的解题策略

关于新教材中排列组合问题的解题策略

郎永胜

关键词：排列；组合；策略

作者简介：郎永胜，任教于辽宁省抚顺十中。

排列、组合问题，在高考中所占比重不大，但试题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，另外排列组合知识往往与概率中的古典概型及统计知识有一定的联系。在“倡导创新体系，提高素质教育”的今天，该类试题是最好的体现，由于有些问题比较抽象，且题型繁多，解法独特，再加上限制条件，容易产生错误。

一、“住店”问题——分步法

解决“允许重复排列”的问题要注意区分两个不同对象：一个对象可重复，另一个对象不能重复。把不能重复的对象看着“客”，能重复的对象看着“店”，再利用分步计数原理直接求解。

例１．7名学生争夺五项冠军，求获得冠军的可能种数。

解：应同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将７名学生看着７家“店”，五项冠军看着５名“客”，每个客有７种住宿方法，由分步计数原理得Ｎ＝种。

二、特殊元素、位置“在与不在”问题—优先法

对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素或位置，再考虑其它元素。

例2．1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种。

解析：

法一：优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有种。剩下的位置由4名学生全排列，有种。因此共有种不同的排法。

法二：优先考虑对特殊位置（两端）的排法，因老师不排在两端，考虑从4名获奖学生中选两人排在两端，有种，其他三人站另三个位置，有种，因此共有种不同的排法。

三、相邻问题——捆绑法

?对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。

例3.5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有多少种？

解析：将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有种排法；而3名老师之间又有种排法，故满足条件的排法共有种。

四、不相邻问题——插空法

对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。

例4．有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？

解析：先将其余6人进行排列，有种；再把不相邻的4人分别排在前6人形成的7个空隙中，有种。所以共有种排列次序。

五、正难则反——排除法

有些问题直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

例5．某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?

解析：43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种.

六、性质不同—分类法

有些问题情况较多，按元素性质进行分类。

七、分排问题——直排法

把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理。

例6.7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法。

解析：7个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有。

八、混合问题—先选后排法或?边选边排法

对于排列、组合的混合问题，可采取先选取元素，再进行排列或一边选一边排的策略。

例7.从1，3，5，7，9中任取三个数，从2，4，6，8中任取两个数字，可以组成多少千位和十位数字只能是奇数的无重复数字的五位数？

解法一：第一步丛1，3，5，7，9中任取三个数有种，第二步从2，4，6，8中任取两个数有种，第三步从三个所选奇数中选两个数放在千位和十位有种，第四步剩三个数放在三个位置上有种，所以共有个满足条件的五位数。

解法二：第一步丛1，3，5，7，9中任取两个数排在千位和十位有种，第二步从剩三个奇数中选一个排在剩三位中的一位有种，再从2，4，6，8中选出两个排在剩两位中有种，所以共有=2160个满足条件的五位数。

九、“小团体”排列，先“团体”后整体

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。

例8.四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？

解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有种，由乘法原理，共有种。

十、不同元素进不同盒—对应法

解决这类问题有一定的难度，要区分好所分对象，最终对应给的对象。

例9.把四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中,不允许有空盒有多少不同的方法?

解析：由题意知必然有两个小球放如同一盒中，所以先从四个不同小球中取出两个再放入三个分别标有1,2,3号的盒子中的一个共有种方法，再把剩下的两个小球对应给剩下的两个盒子共有种不同的方法。由分步乘法计数原理，共有种不同的方法。

十一、大小排列问题——逐一排查法

?对于数的大小顺序排列问题，可以采用“逐一排查法”的方法，逐位依次确定。

例10：用0、1、2、3、4五个数组成无重复数字的四位数，若按从小到大排列，3204是第几个数？

解析：从高位向低位依次考虑，分3类：

第一类：当千位是1、2时，有个。

第二类：当千位是3时，若百位排0、1，有个；

第三类：当千位是3时百位排2时，比3204小的仅有3201一个。

?故比4304小的四位数共有48+12+1=61个，所以3204是第62个。

十二、复杂问题——转换法

对于有些较为复杂的排列、组合问题，若不能用以上方法解决，可以采取等价转换的方法，转化为其它问题然后解决。

例11：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不小于7的取法有多少种？

解析：设红球取x个，白球取5-x个，依题设有2x+(5-x)≥7。其中x∈，,且。解得2、3、4，对应3、2、1。故取法种数为种。

对于不同的题目，根据它们的条件，我们就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种技巧结合起来应用，便于我们迅速准确地解题。在这些技巧中所涉及到的数学思想方法，例如：分类讨论思想，变换思想，特殊化思想等等，要在应用中注意掌握。

作者单位：辽宁省抚顺十中

邮政编码：113001

Problem-SolvingStrategiesforPermutationandCombinationinNewTextbooks

LangYongsheng

Abstract:Thispapersummarizesproblem-solvingmethodsofcommonitemsinpermutationandcombination.

Keywords:permutation;combination;strategies