借助几何画板提升学生直观想象核心素养

钟武权

广州开发区外国语学校 510735

摘 要：《普通初中数学课程标准（2019年版）》提出六项核心素养，为初中数学教学制定了课程总目标.突破传统教学，从信息技术的视角，对初中数学抛物线的一个性质进行验证、探究、应用、拓展推广，有效培养学生直观想象核心素养.《中国学生发展核心素养》 正式发布，明确指出中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新等六大素养，具体细化为18个基本要点，为广大教师今后的教学实践指明了方向.当前的数学教学实践中，如何关注核心素养，从而培养学生全面发展，是每一位教师面临的新课题.笔者以“看似无圆却有圆”为例引入，谈谈对此的实践探索及思考.

关键词：数学核心素养；直观想象；突破难点；模型提炼；整体直观

前言

直观想象是通过直观感知客观事物的形态与变化，认识事物的位置关系、数量关系、变化规律，通过建立形与数的联系来分析数学问题，寻求问题解决的思路.直观想象是发现问题的基础，也是逻辑推理、数学抽象的思维基础.当下初中数学教学最大的难点在于知识内容抽象难懂，需要学生由原来的感性认识逐渐上升到理性认识，这就要求教师将比较抽象的学术形态内容转化为学生容易直观感知的教育形态内容.几何画板作为最出色的教学软件之

一，在提升学生直观想象核心素养方面有很大的作用.

一 看似无圆，却有一圆

热 身题：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝20°，∠CAD＝80°，则∠BDC＝_____，∠DBC＝_____.

教学说明：本题是有关辅助圆的一道经典题.此题可以用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质来解决，但比较繁琐.国数学家维纳所说的“钻研数学，这是一种需要全部灵活性和刻苦耐劳的智力体操”进行引入，如果体操动作是：以点A为中心，AB为半径作一个圆，那么这道题就马上迎刃而解，教师在这过程中利用几何画板把圆画出来（如图2），从而让学生体会到其中看似平常，却只差一圆而已的精妙之处，几何画板也发挥了在其中的完整性.

二 突破难点，一目了然

几何画板可以为教师提供丰富而便捷的教学设计与实践平台，方便教师开发自己需要的各种素材，能够动态展示对象的位置关系、变化规律，也能快速验证数学猜想，有利于促进学生通过数学实验发现问题与提出问题，有利于提升学生的直观想象素养，也为有效落实其他初中数学学科核心素养培养提供了基础保障.本文从绝对值的一个性质出发，借助几何画板验证、探究、应用、拓展，在提升学生直观想象的核心素养方面做了一些尝试.

提出问题：求|x－7|+|x－(－3)|的最小值.

为了加深学生对绝对值的理解，教师先问：|7－(－3)|表示什么，

答：表示7与－3的差的绝对值.

又问：我们看看在（几何画板）数轴上是怎么样的？

答：7 与 －3 这两个数在数轴上所对的两点之间的距离.

问：又怎么类似理解|x－7|和|x－(－3)|？

答：x与7这两个数在数轴上所对的两点之间的距离；x与－3 这两个数在数轴上所对的两点之间的距离.

问 ：又怎么类似理解|x－7|+|x－(－3)|？

答：x与7的距离与x与－3的距离的和.

问：我们整条数轴上看看x可以在哪里?

答：分三类，可以在－3的左边，可以在－3与7的之间，还可以在7的右边.

教师左中右都拖动对应x的点， 问：那么再看看|x－7|+|x－(－3)|有最小值吗？

学生思考了一小会儿，答：有，x在－3与7的之间就可以得到，最小值是10，太简单了.

接 着为了提升学生直观想象，教师又问：有没有x的值使|x－7|+|x－(－3)|＝12？

答 ：x＝－4或x＝8.

结合学生的热情，教师可以专门准备了一个绝对值的主题教学.

三 模型提炼，拓展思维

数学几何图形有变化之美，也有形变而神不变之妙，通过几何画板的辅助去体验一下其中的几个“神不变”的数学模型.

（1）模型一：到定点的距离等于定长.问题：①通过热身题，思考：题目中出现什么条件时可以添加辅助圆？依据是什么？②通过热身题，可以得出添加辅助圆的哪种模型？教学说明：通过这两个问题引导学生积极思考，发现题目的特点，总结添加辅助圆的基本模型：到定点的距离等于定长，并理解这种模型的基本依据.这里较多的学生认为添加辅助圆的依据是“圆的半径相等”，这其实并不准确，严格来说应该是圆的静态定义：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆.教师此时用几何画板加粗AB＝AC＝AD中的三线，让学生加深并形成模型思维.

（ 2）模型二：四边形对角互补.如图3，Rt△ABC和Rt△ABD的斜边重合，且AC＝8，BC＝6，∠BAD＝45°，连接两个直角顶点

C、D，求线段CD的长度.遇到这样的问题，教师可以提出两个问题，问题①：当题目中出现什么条件时，可以添加辅助圆？依据是什么？

问题②：在一般情况下，如果任意∠ACB和∠ADB互补（如图4），那么A、B、C、D四点还在同一圆上吗？教学说明：本例是由一道习题改编而成的，原题图中是有圆的，笔者特意将此题中的圆隐去，旨在让学生自己分析题目特点，从而发现其中隐藏的圆.学生根据“两个直角三角形有公共斜边”这一特点，不难添加辅助圆，但对于添加的依据依然不甚明了.教师需引导学生把此问题转化成模型一，即找到公共斜边的中点O，连接CO和DO（如图5），根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AO＝BO＝CO＝DO，利用几何画板就很容易就添加了一个辅助圆，.有了这个辅助圆之后，这个例题也就不难解决了.接下来教师追问问题②，对于这个问题，学生基本能猜想到结论，但原理依然不清楚，很多学生认为是“圆内接四边形对角互补”，这也是不准确的.这个结论的证明可以用反证法.由于这个方法初中阶段涉及较少，学生比较陌生，且不是中考考查内容的重点，因此，笔者在这里采用了几何画板微课教学的形式，把证明过程录制成了一个微课视频，一方面，可以减轻课堂容量的压力，另一方面，可以进行资源共享，让学生课下拓展学习.通过这两个问题，让学生从图形更清楚的意识到基本模型的厉害：若四边形对角互补，则可通过添加辅助圆.

（3）模型三：同底同侧张等角.问题①：如图6，如果把图3中的△ABD翻折到上方，与△ABC在AB的同侧，那么A、B、C、D四点还共圆吗？问题②如图7，如果∠ACB＝∠ADB＝α，那么A、B、C、D四点还共圆吗？你能得到更一般的结论吗？

教学说明：这两个问题是在模型二的基础上，借助轴对称变换及类比的方法进行拓展引申，从而得到添加辅助圆的第三种基本模型：同底同侧张等角.有了前面模型二的探索，学生不难得到结论，且对于辅助圆的添加依据也会通过直观类比轻松获得.

（4）模型四：手拉手模型.如图8，点C为线段AB上一点，△ACM和△BCN都是等边三角形，连结AN、BM相交于点F，AN交CM于G，BM交CN于点H. 求证：AN＝BM.看似一道很平常的题目，但如果我们换个角度看，它就是一个手拉手模型，共端点C，第一个△ACM的左手CA牵第二个△BCN的左手CN，第一个△ACM的右手CM牵第二个△BCN的右手CB，这样的模型很容易得到△CAN≌△CMB，下面四图也是手拉手模型，通过几何画板的制作与演示，会发现它们的形变而神是不变的，从而突破其中的三角形全等就驾轻就熟了.

四 凝练精华，整体直观

在复习全等三角形的回顾环节中，由于全等三角形是可以看作一个三角形通过平移、轴对称、旋转等变换形成，故为了让学生有个整体直观的认识，教师可以用几何画板画出下列六个图形（如图9），并一一演示变换过程，这样，全等三角形中对应元素便一览无余，形成完整的知识链，让学生感受到了几何图形的变化之美，有利于培养学生的审美情趣.学生在做具体题目时会找出公共边、公共角和对顶角等隐藏的对应条件之外，也会根据变换的直观思维去对应完善剩下的条件，真正站在了一个高度看问题，在学生不断探究的过程中，学生经历了从特殊到一般、从静态到动态、从形象到抽象的过程，从而有效提升了直观想象的能力.

结束语：

通过直观想象核心素养的培养，并借助几何画板的辅助，学生更能够养成运用图形和空问想象思考问题的习惯，提升数形结合的能力，建立良好的数学直觉，理解事物本质和发展规律．直观想象是数学核心素养之一，体现了数形结合的重要思想，辅助几何画板直观想象进行到底，并贯彻到课堂教学的可直观环节当中，这需要每一位教师在教学过程中不断探索和实践.

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