如何用反例法培养孩子的逻辑思维

如何用反例法培养孩子的逻辑思维

成义森

江苏省兴化市安丰中心小学 摘要：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。在数学的发展和教学应用中，反例法往往起到了很大的作用。在数学教学中，要得到一个真命题，需要进行概念的解读，已知条件的梳理，严密的推理论证等等，而要得到一个假命题，即否定一个命题，只需要举出它的反例即可论证。将反例法应用在小学数学教学中可以开拓学生的思路，增强学生的求知欲，使学生对基础知识、基本概念和定理掌握的更加牢靠，并在此基础上做到举一反三，培养发散性思维与创造性思维。从另一个方面说，运用反例法还可以培养学生善于发现问题的批判性思维以及善于解决问题的逆向思维，而事实证明，在科技、军事、金融等领域的人才很多都具备成熟的逆向思维。

关键词：反例法、命题、创造性思维、逆向思维

从心理学上讲，人在成长经历中，对外界事物的认知会遵循一个规律，即“认识——质疑——否定，再认识”的一个螺旋积累的过程。基于此，小学阶段的学生，在对外界形成一些初步的认识后，自然会到达质疑的阶段。在这个阶段，学生会倾向于对所学的知识提出质疑甚至是“挑战”，这也就意味着，运用反例法来培养逻辑思维符合这个年龄段学生的思维特点，因而更贴合于小学数学的教学，对于小学数学教学策略的思考大有裨益。本文试就反例法在小学数学的教学应用做一些探讨。

1. 运用反例法，使学生明晰概念，判断命题

数学学科的学习过程中需要精确的计算和严密的逻辑推理，这意味着学生要从每一个数学课本中概念的掌握开始。数学中的概念、定理等是解题的依据，因此就要有对概念（人类所认知的思维体系中最基本的构筑单位）的明晰，才能进而涉及到命题、公式、定理的运用，从而完成题目的解答，在小学数学的各个单元的各类课题都脱离不开这样的知识结构。许多数学概念的确立和命题的成立都离不开举证反例的应用，举出一个且只需举出一个例外来证明结论不成立，反之没有例外则成立，即所谓的“去伪存真”。在学生学习过程中，我会鼓励他们在认知概念、命题与公式时运用反例法来从不同角度，全方位进行解读，以保证学生对概念、命题与公式的识记不会存在偏差。

概念是学生的头脑对数学课程中数量关系与空间形式本质特征的一种反映形式。在概念的教学中运用反例法可以使学生对数学基本概念记忆更为深刻。

例如，真分数与假分数的教学课程中，我会故意改变一下真分数概念的说明，“真分数，就是分子小于分母的分数，反之就是假分数”，有心的学生会举出反例，“如果分母是一个大于0的整数，而分子是0的话，那就不是分数了，自然也就不是真分数了”。

这种方法在几何图形的教学中可谓百试不爽。例如，在涉及到几何图形概念时，我会问同学们：“一个四边形中有两个角是直角，那么这个四边形是矩形吗？如果不是请大家举出反例。”学生们会不假思索画出图例，得出反例并反馈给我“也有可能是直角梯形”。接着，为了让学生深刻地记住某个定理，也可以用反例法中“无反例”的例子来证明定理的正确性，那么我会继续问学生：“三角形的内角和是180°吗？如果不是，请举出反例。”因为这个命题是真的，是已经被证明过的定理，故学生们举不出反例，反之则意味着学生会加深对这条定理的记忆。

2. 运用反例法，增强学生发现并纠正错误的意识

构建反例，本身就具有直观、鲜明、说服力强等特点，所以在利用反例法揭露伪命题时效果显著。而学生的质疑精神如果仅用在质疑课本内容或外界知识，而不能用来发现并纠正自身的错误上，就显得浪费了。对于学生自己做过的题目，尝试着靠举反例来刨除错误的解题方法，分析错误原因，找到正确的解题方法，比起单纯的对答案效果要好得多，能够从根本上提高学生的学习成绩。

例如，有这样一个工程问题：一项工作，甲单独做要1/2小时完成，乙单独做要1/3小时完成，如果两人合作，需要多长时间完成？有的学生很容易就想到1/2+1/3=5/6（小时），但也有的学生会提出疑问，为什么两人合作反而用的时间更长了呢？所以这个算式是错误的，而是先得出二人的效率，即甲乙的效率之和为1÷1/2+1÷1/3=5，那么工作总量除以效率和就是所用的时间，即1/5小时。

在四则运算中，我们要掌握先乘除，后加减的运算法则，否则失之毫厘谬以千里。从运算思维的发展来看，加法是最初级的，乘法是乘数个数的被乘数相加得到的总数（积），本身是一个有机的整体，从思维层次来看高于加法，因而要按照先乘除，后加减的运算顺序才比较合理。但这样的解释对于小学生来讲难免有些晦涩，也不容易说服他们，那么不妨来运用反例法来说明。最简单的例子3+3×2，按先乘除后加减的运算原则，就等于9；而反之就得12。当然，在实际应用题中，也有一些情况需要用到先加减，再乘除的顺序，就需要涉及到加减算式的部分添加括号。例如，同学们要浇300棵树，已经浇了180棵树，剩下的分3次浇完，平均每次要浇多少棵树？根据题意，这个问题应该先减，后除，那么算式就必须加括号：(300-180)÷3=40。在解题运算中，会有学生记住了先加减，后乘除的运算法则，但在遇到实际应用题答题时，列出的算式忘记添加括号，反而出现理解偏差，运用了错误的运算顺序。

3. 运用反例法，培养学生的创造性思维

时下，创造性思维是深受教育部门推崇的热门词汇。在数学教学的过程中，教师不仅要给学生灌输课本上的数学知识，还要着重培养学生创造性的思维，以有助于将学生朝着创新性人才方向发展，而要达到培养创造性思维的目的，就可以运用举反例的方法。构建反例是一个快速而无规则的过程，因此更有利于活跃学生的思维，令他们不拘泥于单一的思路，甚至不必拘泥于课本上提供的“冷冰冰”的概念或者公式，有时候我会试着跳出课本，与学生做一些数学游戏，来逐渐培养学生的学习兴趣，以帮助他们开发创造性思维。

例如在一次课堂上，我提出跟同学们做一个数学游戏：“请同学们自己脑海中默默想一个数，范围在1~9之间，不要说出口。然后将这个数+5，再－4，再×2，再×2，再×3，再×3，至此将得出的数字每个位数上的数相加，再讲此数+3，再－2……”这里有一个规律，即两次的×3，也就是将9的倍数每个位数上的数字相加均能得到9，然后再通过9继续做任意的运算就可以如读心术一般说出学生们现在算得的数字，而在两次×3之前的加减运算不过是隐藏这些的迷魂阵。很多同学能够熟练背诵乘法口诀，却没有注意到这个现象。但是，这也是有例外的，有位同学就很聪明地举出了一个反例，是11×9=99,9+9=18，需要再次计算1+8=9，但是在关键的一步老师不知道同学们是否会得出11，因而不能确定应该将这个9的倍数每个位数相加共几次才能得出9，这个游戏也就宣告失败了。

由此可见，反例的最终指向是对真理的探求，但其出发点却往往是源于学生们对游戏性与趣味性的爱好，因为在这样的环境下学生的思维最为主动并且活跃。在培养学生创造性思维的过程中，就要跳出课堂教学的束缚，从孩子的天性出发，通过游戏这种轻松愉快的气氛来启发他们的创造性思维。

四、运用反例法，培养学生的逆向思维能力

学生具有了创造性思维，就可以偶尔“反其道而行之”，来培养逆向思维的习惯，有时候还会迸发出“司马光砸缸”式的智慧火花。而教师利用学生小学阶段叛逆性的思维特点来抓住机会，培养学生逆向思维，其本身也是“反其道而行之”。逆向思维,是一种将习以为常的事物反过来思考的思维方式，它将学生们管用的思维习惯进行打破重组，从而解锁了很多新奇的思路。它不仅对我们的日常生活产生了积极的影响,而且对各个学科的教学学习有着不可忽视的作用。在数学解题中,恰当地运用逆向思维可以化繁为简,化难为易,甚至可以解决许多利用常规思维难以解决的问题。

小学数学中有许多概念涉及到互逆，需要我们换一个角度去看问题，如互为约数倍数、互为倒数、加法交换律、乘法分配率等。例如，小数点的位置变动一位、两位、三位与数值扩大或缩小10倍、100倍、1000倍等有着密切关系，在学生掌握互逆的思维之余，可以使学生充分领会所学知识的内涵。

逆向思维习惯的养成是以通过不断构建反例为基础来获得的。又如，判断88×62=4788这个算式是否正确时，若按照平时的演算过程难免费时费力，那么从另一个角度出发，我会引导学生用估算的方法来检验是否正确，即80×60=4800，那么88×62>4800，或者更简单的方法来看尾数8和2，2×8=16那积的尾数首先一定得是6，否则是错误的。

培养逆向思维习惯，并不是说逆向思维一定是最有用的，可以完全代替常规思维方向，而是让学生灵活地掌握双向思维模式，从而能够更敏锐地发现规律性的知识。同时具备常规思维方式与逆向思维方式的人很容易就能从具体的事例中剥离出抽象的规律。最著名的运用双向思维解决小学数学问题的事例就是数学家高斯在小学课堂上的例题：1+2+3+4+5……+99+100的和。小学生要算很久才能得出答案，而高斯发现了其中规律，即将第一个数1与最后一个数100相加得到101，从算式两端到中间没缩进一位得到的都是101，那么一共有50个101，即101×50=5050，也就是说，最后答案是5050。这就是典型的综合运用了双向思维得出规律从而快速捷俊问题的事例。

总结，在小学数学课程的教学阶段，教师可以充分挖掘学生在这个年龄段略带叛逆性的思维特点，巧妙地帮助学生学会利用举反例来培养逻辑思维并剖析所学到的知识，从而增强学生的学习兴趣，更有助于学生未来成人后构建成熟的辩证思维模式，使他们成为各行各业的有用人才。反例法不仅是数学课程学习方法中的有效武器，也是理工等诸多学科中求证探索的利器法宝，希望从事教学教研工作的各个学科的教师们能多费一番功夫，将这一宝贵武器砥砺锋锐，授予我们的学生。

参考文献：

1. 王耀茹. 数学解题中逆向思维的应用[D].西北大学,2018

2. 杜先云,任秋道.在中学数学中如何利用反例[J].数学学习与研究,2016(03)

[3] 成义森.浅谈小学数学教学中反例的应用[J].内蒙古教育,2019(36)