浅谈分类讨论思想在代数中的应用

浅谈分类讨论思想在代数中的应用

聂孟平

四川省宜宾市江安县仁和镇又贤小学 644200

摘要：在数学教学中，解决数学问题有很多办法，包括数学建模、转化、分类讨论等是解决问题的主要办法，其中分类讨论思想在数学学科教育中占据重要地位。分类讨论思想在数学代数教育中揭示了数学问题的本质规律，使得数学学习不再混乱，更加条理化，大到整体学科的理论结构分类，小至细微知识点的整理分类。本文主要就早已在数学学科教育中渗透较深的分类讨论思想进行讨论，思考其在代数中的主要应用。

关键词：分类讨论； 代数； 应用探究

一个学科必须有自己完整的课程体系和较为成熟的思想方法才能适应不断改变的环境，代数亦如此。数学课程标准也强调了数学思想方法是数学学习的重中之重。目前，对于代数学习来说，如何在课本中去挖掘代数学习的方法，教师如何高效的传递分类思想方法，以及如何去深化学生运用代数思想。这些已经成为数学教育者需要去考虑的重要问题，只有积极的探索才能促进整个课题的进步与发展。在代数中，分类讨论思想是被运用的极为广泛，也是体现的较为全面，将不同事物进行分类，进而进行探索，寻找它们之间的规律与内在联系，为整个教学带来极大的方便。

1. 分类讨论思想的概念及意义

分类讨论思想常运用于绝对值、偶次方及偶次方根等背景中，用字母表示数是数学由算术向代数过渡的一个转折点，实数的分类讨论思想可以迁移到代数式的应用背景^[1]。多次反复对事物进行分类就会培养学生慢慢形成分类思想，这就是一种化整为零、化零为整的思想。分类讨论思想不止对于代数学习有积极意义，其对于任何学科都是有重要的影响，它可以反映事物之间的不同与内在联系，有助于学生归纳总结知识点，清楚整个学科大致分为几类，然后逐步学习每一部分以及寻其存在的差别与联系，提高思维概括性，有利于学习能力的提高，更加快速有效的解决数学难题。

二、分类讨论思想的原则

1、同一标准原则

任何一种分类都必须遵循一种原则，否则会出现较大的混乱，造成分类不清晰以及重复的现象频繁出现。

2. 完整性原则

分类思想主要针对的是总体，覆盖全部内容，不能遗漏，如果不遵循整体分类，不以全部内容为基础，则这次分类就是失败的。

2. 逐级分类原则

分类首先基于整体进行分类，然而学科内容复杂多变，单一的分类是无法全面透彻的理解学科问题，在进行初级分类后，对于子类还可以进行分类，再继续进行进一步的分类，直到分到最后不能分为止，这样才会使整个学科体系的内容更加详细，易于理解学习。

2. 互斥性原则

分类后的内容必须是互斥的，不能相容的，因为分类本身就是针对总体寻找其间的不同与相同，依据这些差距对事物进行分类，所以不能出现一项事物既属于这一项又属于另外一项的情况，其违背了分类思想的本质。

三、运用分类讨论思想解题的步骤

分类思想在解题过程中应该拥有一套完整的步骤，这样才可以条理清晰的进行分类工作，分类的结果也较为准确，不会存在重复、遗漏之类的问题，提高了分类方法的有效性。

1. 首先明确你所分类的事物主体，确定对象，以及对讨论的事物进行取值范围的确定，其有可能是全部主体，或者是少部分主体，这也完全取决于分类事物的范围。

2. 选择分类的标准，这个标准一定是在非常了解事物主体之后，这样对于事物有了清晰地定义才能发现其中的相同点与不同点，从而依据这些了解的情况确定分类的标准。分类是也要合理有效，需要经过反复思考，这样分类的工作才较为高效。

3. 依据所分类的结果进行详细讨论，依次解决每一类存在的问题，进行合理的讨论解决。

4. 针对以上所做出的分类结果进行归纳总结，得出自己的结果，进而总结结论。

四、分类讨论思想在代数中的应用

分类讨论思想可以说广泛存在于平常生活中，我们生活中的超市就充满了分类讨论思想的应用，货品分开摆放便于人们快速购买，那么分类讨论思想也就在代数学习中被积极运用，像人们方便选择货品一样可以快速解决代数中涉及的各类问题。

1. 关于数学概念、定义的分类讨论

小学数学概念中，经常会出现的争议问题主要集中在代数计算的过程中。例如某人把实数分为正实数和负实数，这样的分类是不完整的，因为零也是实数，但是零既不是正实数也不是负实数。 实数可以分为有理数和无理数，有理数可以分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数。只有明确数学的概念知识，才能进行定义规范，减少不必要的争议问题。

2. 用分类讨论判断大小

在进行比较某一种计算方式能够达到最优结果的过程中，可以采用应用题的教学方式进行分析。例如：某服装厂生产一种西装和领带。西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间向顾客提供两种优惠方案。方案一：买一套西装送一条领带，方案二：西装领带均按定价打9折（两种优惠方案不可同时采用）某店老板要去厂里购买20套西装和若干条领带（超过20条）请帮店老板选择一种较省钱的购买方案？

解：设店老板需购买领带x条 方案一购买需要付款200×20＋（x－20）×40＝40x＋3200 （元）

方案二购买需要付款（200×20＋40x）×0.9＝36x＋3600 （元） 假设 y＝(40x＋3200) －(36x＋3600) ＝ 4x－400 （元）

当y＜0时,即20＜x＜100,方案一比方案二省钱

当y＝0时,即x＝100,  方案一和方案二同样省钱

当y＞0时,即x＞100,  方案二比方案一省钱 答：当购买领带超过20条而不到100条时，方案一省钱

当购买领带等于100条时，两种方案一样省钱，当购买领带超过100条时，方案二省钱。

3. 用分类讨论解决互斥问题

在小学数学中经常会出现的问题就是内部的互斥性问题，因此在进行分类讨论地过程中，应当明确在所有的分类中各种数据都应当保证互斥性，才能更好地进行分类分析，最终实现数学教学质量的有效提升。例如学校举行运动会，规定每个学生只能参加一项比赛，初一六班的6名同学报名参加100和200米的赛跑，其中有4人参加100米比赛，3人参加200米比赛，那么就有1人既参加100米又参加200米比赛。
结论：分类讨论的思想在代数中应用极为广泛，在日常的解题过程中应该遵循统一标准、互斥性、完整性、逐级分层这些原则，以及按照分类思想的具体步骤对代数反面问题进行思考整理。代数中涉及的数学概念、定义的分类讨论，判断大小，解决参数问题，根据定义、公式和运算法则分类这些都将代数分为几个部分，可以更有条理的理解代数问题，从而高效学习。

参考文献：

[1]分类讨论思想在初中代数中的应用[J]. 陈传东、霍清. 数学教学.2019(07)

[2] 童海燕. 分类讨论思想在初中代数教学中的应用研究[J]. 新课程研究(上旬), 000(003):59-62.