小学数学“一题多解”与“一题多变”的分析研究

黄承业

灵山县沙坪镇中心校 广西钦州 535419

【摘要】本课题主要是针对小学数学中存在的“一题多解”、“一题多变”的典型例题进行整理，尝试归纳出小学数学中存在的“一题多解”和“一题多变”的题型及其应用；同时总结出“一题多解”与“一题多变”在小学数学中所体现出来的优点。以此来证明：“一题多解”与“一题多变”的针对性训练有利于促进学生解题思维能力的提升和创新能力的发展，并且这种针对性训练能够有效地减少学生不必要的“题海”困扰。

【关键词】 一题多解 一题多变 解题思维 创新能力

1小学数学中的“一题多解”的探究分析

在教学中，通过多角度的思考来获得多种的解题途径，可以一定程度上拓宽学生的思路，培养他们的创新意识^[1]。想要解决一道题，我们可以从以下几个角度入手。

1.1从解决问题的策略入手

在小学数学课本中，“解决问题的策略”是最难教，同样也是最难学的一个章节。在小学这一阶段，学生陆续学习了相关的解题策略，有：替换法、假设法、列举法、方程法、转化法、列表法等等。如果小学生能够正确地运用这些解题策略进行对问题的解答，那么就说明他们在对数学的综合运用能力方面已经获得了一定的提升。

在这里，我想用最典型的问题——“鸡兔同笼”来进行说明。

“鸡兔同笼”问题出自《孙子算经》。原文是这样的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

用现代文来解释这段话，就是说：现在有鸡和兔子在同一个笼子里，他们一共有35个头、94只脚，提问：这个笼子里有鸡多少只？有兔子多少只？

方法一：方程法

①我们可以设笼子里有 只鸡，那么根据题意，兔子就有 只。鸡共有 只脚，兔子共有 只脚。则可以列出方程： 。解得 ，即笼子里有23只鸡，12只兔子。

②当然，这道题也可以设兔子有 只，鸡就有 只。列出方程： 。解得 ，即笼子里有12只兔子，23只鸡。

方法二：假设法

①我们可以假设笼子里的35只全是兔子，此时共有 只脚，比94只脚多了 只，每只鸡比每只兔子多2只脚，所以就有鸡 只，则兔子就有12只。

针对这一假设，我们可以总结出一个公式：

②我们还可以假设笼子里的35只全是鸡，此时共有 只脚，比94只脚少了 只，每只兔子比每只鸡少2只脚，所以就有 只兔子，则鸡有23只。

针对这一个假设，我们也可以总结出一个公式：

方法三：列表法

可以先假设兔子、鸡分别有多少个，同时列出在这种情况下的脚总数，与题目比较，在一次次的列表假设中得到最终答案。列表如下：

从表中可以很清楚地看出，这个笼子里兔子有12只，鸡有23只。

这道题的解法中，列表法最为直观，浅显易懂，但是在实际操作中相对于前两个方法略有些复杂。在讲述这类题目时，可以先从列表法入手，再层层推进，引导学生思考：如果脱离表格是否能想出更好的办法。这样既巩固了小学生的知识储备，又拓宽了他们的解题思维，可谓一举两得。

1.2从题目类型的分析入手

一道题目，从不同的角度分析，它就可以被看成不同的类型，语言的艺术就体现在这里。出示的仅仅是一道题，但是如果学生的思维能力已经达到一定层次的高度时，他就会把题目进行多个角度的分析。这样，不同的角度的解决办法就应运而生了。

例题：六年级一班有110人，一班和二班的人数比是5:6，问：六年级一班有多少人？

方法一：把题目类型归为“按比例分配应用题”

这样可以列式为 ， （人）。

方法二：把题目类型归为“分数应用题”

这里就是把六年级两个班的人数看成是单位“1”，那么一班的人数就占两个班级总人数的 ，可以列式为 （人）。

从这个角度来看，学生首先得吃透分数的意义，其次能准确把握分率所对应的单位“1”是题目中的哪个量^[7]。

方法三：把题目类型归为“平均数应用题”

我们把“六年级两个班共110人”看成是总数，一共就有 份，可以求得平均数 （人），也就是平均每份有10人，接着再把 （人），求得。

方法四：把题目类型归为“倍数关系应用题”

我们把一班人数看成是一倍的量，那么二班人数就是一班人数的 倍，六年级总人数就是一班人数的 倍，则一班人数就是 （人）。

方法五：把题目类型归为“正比例应用题”

我们知道，每份的人数是一定的，也就意味着人数和份数是成正比例关系的。解设一班人数有 个人，可以得到 ，解得 即为题目所求的结果。

这道例题中的一个条件虽然是用比的关系来展现出来的，但是如果我们从不同的题目类型分析着手之后就会发现：同样是这道题目，可以联系运用的知识却有很多种。要我们解答的虽然是一道题目，但是里面蕴含的知识范围却很广。学生在解答这类题目的时候，脑袋里需要快速地反映出自己储存的多种信息，并且进行快速的筛选，以找到解决这类题目的合适的方法。这道例题中融合了分数与除法、比、正比例这些内在知识的联系，分析、解决了这道题后，学生对这一类型的题目一定会有更深层次的理解。

当然，在多样化解法的课堂中，我们需要给学生留下足够的思考时间和空间，这样才能达到我们的最终目的^[2]。

1.3从数量关系的确定入手

数量关系，它在小学数学教学当中是一个十分重要的概念。解决问题的教学有利于培养小学生的逻辑思维能力，也有利于发展小学生的智力。数量关系在解决问题中占据了一个十分重要的地位，因此，教会学生正确把握数量关系、利用好数量关系来解答题目是尤为重要的。

例题：某公司准备采购器材，每件器材售价1200元，后来厂家进行了价格调整，每件器材节省100元。问：原来采购132件器材的价格，现在能采购多少件？

方法一：

根据数量关系式：器材总价格÷现在每件器材的价格=现在可采购的器材件数，可以列出算式： （件）。

方法二：

根椐数量关系式：现在节省的价格可以采购的器材件数+原来能采购的132件=现在可采购的器材件数，可列出算式： （件）。

这类型的题目相信运用方法一的学生会占大多数，在这样的情况下，如果让学生先说出自己解这道题运用了什么数量关系，再想想能否想出不同的数量关系来解答，就能达到既巩固了学生对数量关系的掌握能力，又发散了他们的解题思维能力的目的。

1.4从解题标准的不同入手

考虑到不同的小学生在认知上面并不相同，再加上他们都有着各自不同的生活经验，小学生对问题思考的角度、标准也会有很大的不同^[3]。借助的标准不一样，得到的结果也有可能会不一样。这个时候，教师需要对小学生进行正确的引导，对小学生结合的不同情境进行一个精要的评价，以此来确定结果的准确性。

2小学数学中的“一题多变”的探究分析

我们在教学数学中，进行“一题多变”，不仅要通过将应用题中出现的条件和问题进行改变，以此来达到触类旁通、举一反三的目的，更应该强调的是计算题当中出现的一题多解，充分开拓学生的发散性和创新型思维^[4]。

依旧拿经典的“鸡兔同笼”问题来看，原题的大致意思是：“现在有鸡和兔子在同一个笼子里，他们一共有35个头、94只脚，提问：这个笼子里有鸡多少只？有兔子多少只？”

2.1“鸡兔同笼”变化一

现在，我将其中的“94只脚”这个条件改成“鸡的总脚数比兔子的总脚数多12”。题目就变为：现在有鸡和兔子在同一个笼子里，他们一共有35个头，鸡的总脚数比兔子的总脚数多12只，提问：这个笼子里有鸡多少只？有兔子多少只？

依旧是鸡兔同笼问题，只是改变了其中的一个条件，如果学生依旧能够独立完成，说明这类型的题目他已经熟练掌握了。

这道题依旧能够用列表法、方程法、假设法来解决，前两种方法的思考方向和原题一样，在假设法这里，就是检验学生是否真正掌握这块知识的关键了。运用假设法，我们最后可以得到公式：

当鸡的总脚数比兔子的总脚数多时，

或者是：

2.2“鸡兔同笼”变化二

将“94只脚”这个条件改成“兔的总脚数比鸡的总脚数多12”。题目就变为：现在有鸡和兔子在同一个笼子里，他们一共有35个头，兔子的总脚数比鸡的总脚数多12只，提问：这个笼子里有鸡多少只？有兔子多少只？

相信掌握了变化一的解题方法之后，变化二相对于学生来说，它的难度就大大的降低了。

运用假设法，我们可以得到公式：

当兔子的总脚数比鸡的总脚数多时，

或者是：

2.3“鸡兔同笼”变化三

此时，针对鸡兔问题，我把“有35个头”这个条件去掉，增加“如果鸡和兔互换，有脚116只”，原题变为：现在有鸡和兔子在同一个笼子里，一共有脚96只，如果将鸡和兔身份互换，则共有脚116只。提问：这个笼子里有鸡多少只？有兔子多少只？

这就变成了一道鸡兔互换问题，初看如果不用方程法、列表法似乎很难能解决。但是基于对问题进行了足够的分析了解，相信学生能很容易得出以下的公式：

或者是：

以上三个改变是在原有问题的基础上，将题目的条件进行转变，可以促使学生熟练地掌握知识的连贯性、灵活性，激发学生们的学习兴趣，提高他们的学习动力

^[5]。

2.4“鸡兔同笼”变化四

如果说真正掌握了鸡兔同笼问题，那么相类似的题目的正确解答对小学生来说也应该不在话下了。此时，我可以再做一个更大的变化，将“鸡兔同笼”问题做个彻底的改变：

某个小学校进行了一次解题能力的竞赛，竞赛规则是：一共50道题，答对一题得5分，答错一题或者不做这一题不仅不得分，还要倒扣10分，某个学生一共得到130分。问：该学生一共答错了几道题？

这道题可以算作是“鸡兔同笼”问题的推广题，也可以称作得失问题。最后可以得到公式：

这四个辨析题做完后要对学生进行适当的引导，带着学生一起对题目进行一次归纳和发现；将题目放在一起，进行对比联想^[6]。相信这样针对一道题进行灵活的巧变、多变，学生对题目的印象会非常深刻，对于这类题目已经有了深层次的理解，思维能力也能够获得一定的提升。这四道辨析题做下来之后，学生自己应该也能融会贯通了。

在教学中，引导学生对命题中出现的条件、结论进行各种变换，能在一定程度上调动学生学习的积极性^[7]。

一题多变的变换形式是多种多样的，大致可以归为以下几个类别：第一种，保持题目原来的条件不变，将问题进行不同程度、不同层次的变化；第二种，保持题目原来的问题不变，将条件进行不同程度、不同层次的变化；第三种，将题目中出现的条件与问题进行互换；第四种，将题目原来的叙述形式进行了变化……在一题多变的过程中，教师可以通过不同的形式、多变的思维活动的开展来帮助学生获得多方面的信息，激励小学生要大胆地对自己手头的问题进行猜想，要有敢于创新的勇气！

小学数学的教学是“学无止境”、教无止境的^[8]，小学数学更是“做”无止境。想要提高学生的数学成绩，并不是靠题海战术来拉升的，这样不仅浪费时间，也损耗了教师和学生的精力。所以，教师在平时的教学过程中，如果能够有意识的对部分典型的题目进行一题多解和一题多变的讲解。与学生一起，多角度、多方位地对题目进行探索、研究与尝试，这样的课堂不仅不会枯燥无味，反而，一定会激发小学生们的求知欲望，充分调动起小学生们的学习积极性。这样一举多得的教学绝对能够高效地促进学生的思维，使学生真真正正的掌握了学习数学的秘诀。我相信，长此以往，学生的数学综合学习能力一定能获得巨大的提升！

【参考文献】

[1] 董深慧,锡盟. 小学数学教学中如何注重开发学生的潜能[J]. 沙棘(科教纵横), 2010, 卷号(10): 95-95.

[2] 高丽肖. 浅谈小学数学中多样化解法对学生思维发展的影响[J]. 小作家选刊(教学交流), 2014, 卷号(10): 129-129.

[3] 凌万春. 浅谈小学数学一题多解应用题[J]. 新课程(教育学术), 2010, 卷号(8):89-89.

[4] 殷晓智. 如何在小学数学教学中培养学生的思维能力[J]. 新校园(上旬刊),2013, 卷号(12): 87-87.

[5] 王振坤. 提倡“一题多变”教学, 增强学生创新能力[J]. 课程教育研究(新教师教学), 2013, 卷号(35): 343-343.

[6] 李建华. 数学教学中如何培养学生的创新能力[J]. 网络导报·在线教育, 2012,卷号(32): 67-67.

[7] 孙荣. 小学数学教学中如何培养学生的创新能力[J]. 大观周刊, 2011, 卷号(28): 14-14.

[8] 施向辉. 巧用“一题多变”发展学生思维能力[J]. 文理导航(下旬), 2013, 卷号(9): 45-45.

作者简介：黄承业（1978-08），汉， 广西灵山人，小学校长，中级职称，大专学历，研究方向为农村小学数学教育。

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