问题引领探究，知识生成自然-以“等差数列的前n项和”第1课时为例

问题引领探究，知识生成自然-以“等差数列的前n项和”第1课时为例

高李红

四川省成都市航天中学校

摘要：“问题是数学的心脏”，在公式教学过程中，设计有价值的问题才能引导学生积极探索，深入思考，理解公式的探索过程，学习探究问题的方法，进一步提高学生的数学核心素养。本文以“等差数列前n项和”第1课时教学为例来说明。

关键词： 问题教学，理解公式， 数学核心素养

1问题提出

高中数学中有许许多多的公式与定理，在概念教学中，我们要重视知识的发生发展过程，只靠死记硬背，不仅记不准而且还不能灵活应用。数列部分历来是高考的重点，每年高考都要对其重点考察，不仅要求知识点记忆准确而且还能灵活运用。数学知识只有被深刻理解了，才具有迁移与应用的活性。如何教学才有助于学生的深刻理解呢？我认为基于整体把握该章节内容的基础上，根据学情与教学目标设置合理的问题串，是一种有效的方法，本文结合“等差数列前n项和”第1课时教学为例来说明。

2教学设计

2.1教学内容分析

本章学习的主要内容是数列的概念和简单表示、等差数列和等比数列。由于数列是定义域为正整数集或其子集的函数，因此本单元也是函数学习的延续，借助函数性质研究了数列的单调性以及特殊数列与一次函数，指数函数的关系。本章教学特点“现实情境——数学模型——应用于现实问题”，其中现实问题情境的选择非常丰富，充分体现等差等比数列是反映自然规律的基本数学模型，从而培养了学生从实际问题抽象出数学模型的能力。

“等差数列的前n项和”是人教A版必修五第二章第3节，承前它是等差数列及其通项公式的后续，启后为研究等比数列奠定基础。对于完善数列单元的知识结构体系。提升学生探究，应用能力等方面有着不可替代的作用。本节课的学习包含类比与推广，从有限到无限，

从特殊到一般的思想，是培养学生逻辑推理和数学抽象的载体。

2.2学情分析

通过数列通项的求解与等差数列的学习，学生对等差数列的概念与通项的归纳概括比较熟悉，学习的积极性，主动性较强，归纳概括能力有所提升，为本节课的学习打下了一定的基础，然而存在部分学生不重视知识形成的过程，对知识理解不透彻，只喜欢沉浸在记忆公式与结论，每天遨游于题海之中，通过题海战术提升自己的数学成绩。因此，让学生在合作与交流之中体验知识的生成过程，从而达到训练思维，进而提升素养成为必然。

2.3教学目标分析

基于教学内容和学生学情的分析，教学目标确定为：

(1)经历等差数列前n项和公式的探索过程，从特殊到一般，从有限到无限，理解公式的推导方法；

(2)理解等差数列前n项和公式的本质及其简单应用，体会方程的思想。

2.4教学过程

2.4.1创设情境，引入课题

[情境] 学生观看小视频《数学天才高斯的故事》，引出1+2+3++100=?

从数列的角度来看，它表示计算一个等差数列的前100项的和的一种方法，引出课题。

[问题1]高斯算法妙在哪儿？

学生:发现规律首尾之和相等，计算快；

[问题2] 此算法是否具有一般性？

用高斯算法求1+2+3++101会出现什么问题？如何解决？

学生1：不是偶数了，不能全部成对。但是可以先计算出1+2+3++100，利用首尾之和相等，共50对，然后再加101；

教师：大家还有不同做法的吗？积极举手说出自己的想法。

学生2：给它添了一项102，然后再减去它，这样使前面的项成偶数，是个整数对，好计算，即（1+2+3++102）-102。

学生3：利用首尾之和相等为102，共50对，但是中间会留一项51，再单独加51；

教师：非常好，看来大家都认真思考了，从不同的角度来解决问题，通过“添”与“去”使得所求的项化为我们熟悉的偶数来处理，变得的简单了。刚才的数列都是有限项，那如果是无限项该怎么办呢？

[问题3]探究计算1+2+3++n=？略有停顿后，提问：共有多少项?n与前面有何不同？

学生4：n项，n不定，可能是奇数也可能是偶数，要分类讨论；

教师：那么有没有方法可以避免讨论？大家可以相互讨论，然后展示你们的做法并讲解。

学生5：令 =1+2+3++n,

乘2得：

)+)

首尾相加得

=

所以

教师：太棒啦，为你点赞，你们是怎么想得？说一说。

学生5：乘2之后就变成了偶数，使得刚好凑整数对，就好了。

教师：如果我们书写时让相加的首位项对应写成一列就更直观，实质是

如：

+

这样对应列之和都相等，是不是看起来更加清楚呢？

设计意图：利用高斯求1+2+3++100这个具体的等差数列求和，激发学生的学习兴趣，从偶数项到奇数项求和，从学生的最近发展区入手，设计问题，引导学生思考，特殊到一般的思想，找到求等差数列和的一般方法，通过学生的讨论与交流，让学生表达自己的想法，实现思维的碰撞，为新课引入做好准备。

2.4.2知识形成，理解辩解

[问题4]根据以上启示，你能推导出等差数列的前n项和公式吗？

小组讨论，写出推导过程，请代表展示并讲解。教师做点评与补充。

设数列为等差数列，前n项和

倒序

两式相加得 （根据等差数列的等距性得）

由此得等差数列前n项和

[问题5]如果已知等差数列得首项，公差d和项数n，如何表示前n项和呢？

学生6：将通项公式d带入上式就可以。

所以等差数列前n项和

[问题6]你可以利用别的方法来推导上述公式吗？

学生7：等差数列中的每一项都可以用和d 表示，所以

[问题7]比较上面两个公式，使用时的条件分别是什么？

学生8：需要知道首项，末项和项数n,

而 需要知道首项，公差d,和项数n。

教师：想一想，他们分别从哪些角度反映了等差数列的性质？

学生9：前者说明了等差数列的等距性，后者说明前n项和与首项，公差之间的关系。

教师对学生的回答给与肯定和赞同，提示学生从函数的角度来研究此公式又有什么发现？实质是关于n的“二次函数”。

[问题8]从方程的角度再看公式，上述两个公式共有哪些量？至少要知道几个才能求其余的量？

学生9：五个量，至少已知3个，就可以求其余两个。

思考：等差数列前n项和，你能否从图形的角度来解释？

教师提示并采用熟知的梯形面积公式（给出图形）帮助学生理解与记忆。

设计意图：根据启示从特殊的等差数列求和到一般的等差数列求和，学生推导出等差数列的前n项和，再根据等差数列的最基本量是首项和公差，让学生思考是否可以只用首项，公差d和项数n，表示前n项和，接着得出前n项和的两个公式，让学生思考两个公式的使用条件，知道不同条件选择的公式不一样。最后，利用方程思想和数形结合思想再次认识此公式。

2.4.3例题讲解，巩固新知

例1.根据下列条件，求相应的等差数列的有关未知数。

思考：这两个小题，你是否可以用另一个公式求出？

试一试：你可以自己改编例题，已知某些量求另一些量吗？

练习：教材第46页习题2.3A组2.

设计意图：通过例 1求前n项和，让学生熟练公式的使用条件，通过一题多解和自己改编试题，使学生更加清晰地认识方程的思想“知三求二”。

2.4.4课堂小结，深化认知

通过本节课的学习，说说你有什么收获？还有什么问题？

（1）等差数列的前n项和公式；

（2）等差数列前n项和公式的推导方法。

3教学反思

在等差数列前n项和公式教学工程中，我是把知识问题化，把问题情境化。学生经历了从具体数列出发，从特殊到一般，从有限到无限，再到普通的等差数列的过程，都以问题串的形式给出，让学生亲自体会公式形成的过程，感受思维的变化。数学是思维的科学，数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念、思想本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力，提高素养的重要土壤.因此在教学时只有让学生在公式的获得和确认的过程中，身临其境参与体验，在“好”问题的带领下，经过认真的思考，共同探究去解决问题，才能真正领悟公式的本质，体会公式的含义，进一步提升学生的数学学科核心素养。

新课改的核心任务是提升学生的数学学科核心素养，其包括数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算与数据分析，要落实在教育教学的各个环节。核心素养的形成是以数学知识为载体，以数学活动为路径而逐步实现的。教学中尤其要注重学生核心素养的提升，让学生的认知自然合理更有品质，就要求我们教师认真研读教材，感悟教材，领会教材，挖掘教材，找出教材背后有价值的东西，进一步通过自身的理解，开发出适合自己学生特色的教学。所以需要注意以下几点：

3.1重视教学中情境的引入

教学过程要根据教学对象的特点和目标，设置合理的情境问题，使学生学会思考，从而用数学的方式认识和解决问题。好的情境的设置，是成功的一半，如片段中小高斯的故事，不仅激发了学生的学习兴趣，鼓励学生发现问题，提出问题，认识问题，而且还让他们感悟到数学知识的意义和价值。

3.2重视教学中学生的活动

数学教学的目的是整体提升学生的综合素质，所以在课堂上要重视学生的主体地位，只有给学生机会，让学生表现，交流，才有课堂的活力和学生能力素养的真正提升。如教学过程中：1+2+3++101=？学生交流了三种想法，使得我们学生的思维更加活跃，老师再及时总结处理这类问题常见的方式是：去一项或添一项，或留中间。学生的思维就更有品质。例题讲解后，请你根据公式结构自己编写一组试题，这种开放性的设计不仅可以培养学生的发散思维，而且对学生思维水平的要求更高，更有利于培养学生的思维能力。

3.3重视教学中问题的设计

首先，问题要围绕教学目标，针对学生实际设置具有针对性；其次，问题的设计要循序渐进有层次性；然后，问题需要能够引发学生的认知冲突，具有一定的挑战性；最后，问题最好能发散学生的思维，具有开放性。最好是在核心问题的统领下，设计出一系列问题串，让学生在疑虑中探究，在探究中经历深刻的思考，通过一系列问题的解决，核心问题被自然突破，达成目标。

3.4重视教学中整体的把握

教学时，我们要从编者的角度解读教材，把握全册教材的基本结构，主要特点和需要注意的问题，做到“胸有全册”；准确理解定位教材每个单元的内容和特点，做到“胸有全章”；把握每节课时的教学内容，目标和流程，做到“胸有全篇“，有利于知识体系的形成，知识间的联系与对比，达到整体与局部的统一。

总之，数学是思维的体操，学生要学会用数学思维思考世界。好的课堂教学能使学生学会思考，掌握数学思想方法，让学生学会独立思考的教学，不是将数学思想方法直接灌输给学生，而是通过材料，问题提供不同的思维方向，让学生自己去思考，选择，最后形成解决某一（类）问题的数学思想方法，从而提升学生的数学核心素养。

参考文献：

[1]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015，54（1）：61-63.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

本文系2021年四川省教师教育研究项目《基于“课例研讨”精准提升实习师范生教学能力的策略研究》

（课题编号：TER2021-025）研究成果。