数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁---《体重与脉博问题》数学建模教学实例分析

数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁---《体重与脉博问题》数学建模教学实例分析

黄高湧

  (龙湾区教师发展中心  325024)

    数学建模是联系现实世界与数学世界的桥梁，高中数学建模教学首先在北京、上海等发达地区展开实践，2003年数学建模首次被写进《普通高中数学课程标准（实验）》，这标志着数学建模成为高中生正式学习的内容，2018年初由教育部颁布的《普通高中数学课程标准（2017版）》把数学建模作为数学六大核心素养之一，要求数学建模作为课程内容主线，并安排了具体课时，这意味着我国高中数学建模教学又往前迈进了一大步，但现在数学建模教学还处于起步阶段，还存在很多需要解决的问题，现在高中数学建模内容贫乏，缺乏适合学生学习数学建模问题，本文将通过案例《体重与脉博问题》数学建模教学的实例分析，期待对数学建模教学有借鉴意义.

1  核心素养数学建模的内涵

数学建模就是建立数学模型解决实际问题的过程，《普通高中数学课程标准（2017版）》把“数学建模”定义为是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的过程，如果问题没有得到很好的解决，还需要重复进行建模过程.

2007年，Blum提出建模七阶段循环过程，即把整个建模过程分为七个环节，六个状态：现实问题情景模型现实模型数学模型数学结果数学世界现实世界；主要为（1）理解“现实问题”构造“情景模型”；（2）简化“情景模型”构造“现实模型”；(3)数学化，即用数学的语言描述“现实模型”从而构造“数学模型”；（4）应用数学方法得到数学结果；（5）根据现实问题解释数学结果获得现实结果；（6）结合原来的情景验证结果，如果结果差强人意，则重新进行建模过程；（7）介绍问题解决方案，并与他人交流.数学建模是一个过程，而最重要也是学生感觉最困难的是“现实问题数学模型”这一过程，为了更好地提高学生的数学建模能力寻找好的数学建模问题是关键.

2  案例《体重与脉博问题》数学建模实例分析

2.1教学内容及核心素养解析

根据《普通高中数学课程标准（2017版）》的要求，通过数学建模，了解和经历解决实际问题的全过程，实质上在生物学常识确定的模型假设下，科学分析数据建立函数模型描述对恒温动物睡眠状态下体重与脉博率之间的对应关系进行数学抽象.

1）先在情境中抽象出问题，再用图形语言、符号语言分析和表述相关数据，并基于生物学常识形成的模型假设建立函数模型来阐释恒温动物体重与脉博率之间的内在联系，为完善数学模型，在检验和运用模型的基础上利用对数运算转化数据，将幂型函数转化为线性函数模型，从而增强了数据分析的直观性和科学性.

2）在学生理解和认识基本初等函数模型（一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数）的基础上，综合运用技术方法和跨学科知识创造性地建立数学模型描述自然规律、解决实际问题，为数学建模和数学探究活动奠定了基础.

3）综合运用了数形结合、等价转化的数学思想，培养了跨学科（数学和生物）的逻辑推理以及数学抽象、数学建模、数据分析等数学素养，激发了学生应用数学的意识，提高了学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点是掌握数学建模的基本过程以及运用建模结论阐释自然规律（恒温动物睡眠状态下体重与脉博率之间的内在联系）.

2.2教学过程设计

1）情境引入，提出问题

结合视频提出问题如何测量野象在静息状态下的脉博？（可以分成两个问题：对于野象我们比较容易测得的是哪些量？其中相对比较精确的有哪些量？）

设计意图：实际问题导入，激发学生学习兴趣，引入主题让学生对数学建模有初步的认识.

2）初步探究，直观建模

从生活中容易测得体重与脉博的恒温哺乳动物入手，让学生根据不同的动物进行探究体重和脉博的数学关系：

动物          鼠     兔    小狗    大狗      羊      马

体重（克）    25    2000   5000    30000    50000   450000

脉博（次/分） 670   205    120      85       70      38

设计意图：学生探究初步判断函数模型，从一次函数到反比例函数，学生初步运用直观想象和数据分析建立数学模型求解发现问题，为下一步继续深入探究打下基础.。

3）深入探究，逻辑推理

提出问题：什么是脉博？心跳的作用是什么？消耗的能量主要用来干什么？体温通过什么散发？通过上述关联的量梳理出脉博与体重的关系.

设计意图：由于涉及不少生物学的知识，通过查询资料或者上网搜索，得到脉博率的定义：脉博=每分钟流过心脏的血流量/心脏每次跳动挤出来的血量，即:.让学生体会建模中需要借助多种信息，比如查资料、上网搜索等得到相关信息.

4）合理假设，推理建模

问题1  (1)动物每分钟需要流过心脏的血流量Q和动物的什么有关系？

（2）动物心脏每次能挤出来的血流量q和动物的什么有关系？

（）

所以:

建立了体重与脉博的数学模型，借助计算器求得数据相关的K值，用6个K值的平均数为模型的系数K,得到：

生物学家马克斯.克莱伯发现，动物每日的基础能量消耗和体重的次幂成正比，比次幂略大，我们称之为克莱伯定理.

设计意图：通过实际例子培养学生数学运算、逻辑推理、直观想象和数学建模能力，根据生物学的发现改进模型，得到更加优化的数学模型，进一步利用计算机Excel得到更优的拟合函数，培养学生数据分析和数学建模能力.

5）初步应用，检验模型

问题2 上述模型是否真实可靠，与表格中的6组数据吻合吗？

根据计算机Excel进一步数据分析拟合已建立的函数模型的图像，与已有的动物体重与脉博率的散点图进行比较，直观判断模型是否合理.

6）转换数据，优化建模

2.3体重与脉博教学设计的反思

1）数学建模的教学，重在强调数学思维与思想方法，尤其是“比例模型”的应用，重视各类数据间比例关系的分析，培养学生分析和处理数据的能力.

2）学生在选择函数模型的时候会根据自己的经验提出多种方案，如反比例函数、指数函数、对数函数等，对于较容易的进行初步的判断，对于不易判断的函数引导学生建模后让其进行再认识与判断.

3问题的分析线索比较复杂，学生很难自主地建模求解，在过程中容易出现目标不明确，无法操作的情况，因此要以问题呈现的形式引导学生将核心问题拆分成容易达到的小目标，引导他们按照一定的脉络进行.

4）教学过程中充分发挥学生主体作用，始终以问题的形式引导学生主动参与，应用信息技术解决数据运算、图形观察等细节操作，留给学生更多思维空间，更多时间发现问题、分析问题、解决问题.

新课标对数学建模的要求，表明了高中阶段全面推行数学建模教学，数学建模是将数学应用用到现实生活的过程，非常值得在数学课堂引入相应教学以激发学生学习数学的兴趣.本文所给出的数学建模方式来感受什么是数学建模问题，也可以延伸、分散的思维方式引导学生发现并提出新的数学建模问题.

参考文献

中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版).北京:人民教育出版社,2018:4.14

刘卫锋,何霞,王尚志.高中数学建模中教师问题初探.数学通报,2007(10):13-16

张思明著.理解数学:中学数学建模课程的实践案例与探索.福州:福建教育出版社,2011:50