高中数学解题技巧之"数""形"结合策略

高中数学解题技巧之"数""形"结合策略

张俊丽

乌鲁木齐市第三中 新疆省乌鲁木齐市 830000

摘要：“数”“形”结合在高中数学教学中应用十分广泛，能够帮助学生更深入地理解数学知识，也有助于学生学会运用所学数学知识，构建知识点之间的联系，综合提高学生的数学素养和能力。但“数”“形”结合的方法也具有一定的难度，教师需要讲究教学方法，才能促进学生在解决问题的过程中，能够灵活运用“数”“形”结合的方法，拓展学生解决问题的思路，提高解决问题的能力。

关键词：高中教育；数学教学；“数”“形”结合

高中数学知识较为抽象，学生的抽象思维能力虽然已经得到较好的发展，但受到认知能力水平的局限影响，学生对于抽象知识的理解仍然还不够深入，尤其是在面对复杂的数学问题时，利用“数”“形”结合的方法，可以帮助学生将抽象复杂的题目变得更加具体形象，在图形中找到对应的数量关系，也可以利用数的优势表示出各图形之中蕴含的数量关系，从而促进学生解决数学问题的能力。

一、以形解数

数学教学中常见的“以形助教”的方法主要有：数轴、文氏图、树状图、单位圆、函数图像、区域、向量本身的几何背景、方程的曲线等，可以有效解决集合、函数、方程等数学问题。教师在教学时，要注重对不同题目采用不同的解法，明确题型的关键点和解题思路，让学生能够对题型有具体的把握，学生才能够在自主解决问题的过程中，快速反应出可以采用何种方式解决，从而大大地提高学生解决问题的速度和能力。

例如，教师在教学《集合的基本运算》这一部分时，就可以采用“数”“形”结合的方式帮助学生更好地理解集合问题，数轴、韦恩图在集合中应用较为广泛。如书中例题中“已知集合A={X∣3≤X＜7}，B={X∣2＜X＜10}，求（A∪B）的补集，（A∩B）的补集......”，教师在教学时，可以采用数轴图的方式表示出A、B集合的位置，这样可以让学生直观地看出A、B集合之间的关系，从而快速得出答案，教师通过提前点拨学生可使用数轴方法，然后让学生自己尝试利用数轴进行解题，在自我探究的过程中，深刻领悟到“形”对“数”的有效性和特殊作用，再一步步地加强难度，适当添加一些方程式在题目中，让学生一点一点突破，达到灵活运用的地步。最后教师可以再总结升华：在解不等式型集合的交、并集问题时，通常都可以采用数轴的方式进行快速解决，但是同时在解题时，也需要注意验证区间端点是否符合题意，而在面对离散的数集、抽象的数集，尤其是一些用文字表述的几个关系时，通常可以使用韦恩图快速地、直观地表示出集合之间的关系，特别是交叉关系，能够大大节省学生的解题时间。

再例如，教师在教学《函数的基本性质》这一部分时，经常会遇到求最大值、最小值的问题，教师就可以引导学生利用画出函数图像的方式，帮助学生能够更加直观、清晰地看到函数在各限象之间的表示，突出体现出“输”“形”结合的优越性，从而快速反应出最大值、最小值。如例题“g(x)=X²-2X（X∈[2,4]），求出g(X)的最小值”，在解决这一道题时，教师可以让学生先尝试着用自己的方式去解决，学生可能会采用最简单的代入法去解决问题，但可能会忽略掉函数对称轴的特殊，这时候教师可以再引导学生通过画出相对应的函数图像，明确函数g(X)的图像表示，明确函数的开口方向，再根据X值所对应的区间，判断对称轴是否在相应区间内，从而能够更快地对应得出函数的最小值。教师最后也需要对题型进行总结，在解决二次函数的相关问题时，通常都可以采用图像来明确解题思路和方向，将函数变成直观的图像，能够更清晰地表示出各个值地对应关系，但是在求二次函数在闭区间上的最值问题时，要格外注意对称轴与所给区间的位置对应关系进行分别讨论，然后再根据图像的开口方向，确定闭区间上的增减情况，准确地确定出最值位置。

教师可以让学生自行尝试，再点出“数”“形”结合的优势，让学生切实感受到“形”在解题时的有效辅助作用，对各种经典例子讲解之后，教师一定要根据题型的特征，再引导学生一起总结题型和解题方法之间的联系，帮助学生明确题型的解题思路，才能更好地引导学生深入理解“以形助教”的作用，并在实际解决问题的过程中进行积极运用。

二、以数学解形

    高中的几何题型较为复杂，尤其是涉及到立体几何问题时，学生在解决多维立体图形的相关题时，常常会感到无从下手。而以“数”解“形”可以帮助学生快速找到几何图形中，各个数值、变量之间的关系，从而将题目化繁为简，提升学生的解题能力，通常会采用构建方程模型，求根的个数，利用代数解决的几何问题等方式来解题。

    例如，教师在教学《抛物线》这一部分时，教师就经常会采用“以数解形”的方式来解决问题，如以“y=-x²+2X+3，若平行于X轴的直线与抛物线交于M，N两点，且以MN为直径的圆与X轴相切，求该圆半径的长度。”为例。教师可以根据题目要求，让学生先将抛物线与圆在XY轴上表示出来，画出两个的图形之间的关系，从而可以对题进行直观的观察，因为MN是圆的直径，那么可以明确出抛物线的对称轴与MN的交点便是圆心，根据圆与X轴相切，确定出对称轴与X轴的交点就是圆与X轴的切点，通过分析题目，形象、直观地得出圆、抛物线与XY轴之间的关系之后，根据圆的半径相等，以及抛物线的对称轴，找到NG和GD之间的等量关系，从而计算出圆的半径长。圆的几何题考点较多，能够与直线、抛物线等进行综合考察，复杂的题型、图形很容易让学生感到束手无策，教师在这个时候需要耐心引导学生解决问题，给予学生充分思考、尝试的空间，尤其是面对只有题目，而没有图形时，教师需要培养学生善于动手的良好习惯，让学生能够根据题目画出正确的图形，这不仅是在解决圆的相关问题时需要使用的技能，在立体几何的相关题目中也同样适用，因此学生要勤动笔，通过动笔帮助学生明晰出题人的思路，也同时能够在一边分析图形的过程中，明确自己的思路，尤其是对题目中各图形之间的位置关系进行确定，再利用代数、函数模型、直线模型解决几何图形中关于值的问题，这一点在解决立体几何动点问题也十分有效。同时，教师也需要注意引导学生重视图形的理解，以数解形只是方法，并没有明确的侧重点，图形的理解可以帮助学生们确定值的取值范围、以及正负等，这也是不可忽视的要点，要让学生在理解图形和题目的基础之下，利用“数”的方法进行解题，需要循序渐进。

三、结语

    “数”“形”结合的解题思路在高中数学教学中具有重要意义和地位，能够强化学生对数学知识点的理解，帮助学生建立多个知识点之间的联系，培养学生综合运用知识、灵活解题的能力，同时还能够拓展学生的思维，促进数学思维的提升，有助于帮助学生增强学习数学的自信心。

参考文献：

[1]李亚湖.数形结合在高中数学中的应用[J].广东教育：教研版，2011（06）：132.

[2]赵红英.数形结合思想在解题中应用点滴[J].中国科教创新导刊，2013（18）：205.

[3]邱文丁.高中数学几何教学中几何画板的应用分析[J].语数外学习（数学教育），2013,11（8）：145.

[4]吕重明.方程思想在高中几何教学中的应用研究[J].科教导刊，2013,22（18）：101-102.

[5]张健.模型化教学方法初探[J].课程教育研究，2015,14（17）：123.