浅析以“三角函数的周期性”为例的高中数学概念教学设计-中国期刊网

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（整期优先）网络出版时间：2020-12-07

作者: 王俊玲

文化科学 >教育学

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浅析以“三角函数的周期性”为例的高中数学概念教学设计

王俊玲

河北省唐山市第十二高级中学河北省唐山市 063000

摘要：笔者通过对“三角函数的周期性”这一课教学目标进行分析，确定了“问题→探究→概括→应用”的教学模式，现对“三角函数的周期性”这一概念教学设计方案作如下的分析阐述。

关键词：三角函数；周期性；函数；概念教学

作为三角函数的重要性质之一，周期性在三角函数后续教学中起着决定性的作用，在高中数学课程编排中通过以三角函数为载体引出周期性，要求学生了解和掌握三角函数的周期性概念，以此提升对三角函数的应用能力，以此为后续学习奠定坚实的基础。

教材分析

三角函数的周期性教学在学生函数周期性后续学习中起着重要的作用，一方面，通过掌握三角函数的周期性知识，可以对正弦函数及余弦函数在一个周期上的性质，比如可以通过周期性知识来求出正弦函数及余弦函数实数集上的优质，从而学会以“有限”的眼光去看待“无限”的东西，掌握更多有关于周期函数的知识^[¹^]。另一方面，通过开展三角函数的周期性教学，学生可以对生活中的一些周期性现象展开深入的思考分析，感受周期现象，学会从数学角度对周期现象进行研究，并可以体会到三角函数模型是刻画与描述周期变化的重要知识。

教学目标

在开展三角函数周期性教学前，学生已经对生活中的周期现象有所了解，对函数概念和性质均有所了解，并可以利用三角函数线来表示正切、正弦与余弦，因而实际开展教学有良好的基础^[²^]。在教学目标确定上，本节课主要有两点，一是引导学生理解周期函数的概念，并学会求正弦与余弦函数，也可以求函数（其中的A、均为常数，且A≠0，＞0）的周期。二是引导学生对生活中的一些周期性现象进行分析研究，可以学会从数学角度去看待周期性现象，进而对生活中一些简单的周期性问题进行解决，在学习过程中逐步提升自己的观察能力、归纳能力与表达能力。

教学重难点解析

本节课旨在引导学生对三角函数的周期性有明确的了解与掌握，会求一些简单三角函数的周期，并培养学生的逻辑思维能力，让学生感受到处处有数学，激发学生积极性。因此，本节课的教学关键在于通过实例来引导学生认识和感受三角函数的周期性，重点在于明确周期函数的定义及正弦、余弦与正切函数的周期性，难点在于对周期函数概念有全面的理解与掌握。

教学过程

本节课需要引导学生去概括周期函数概念，并运用函数周期知识解决数学问题，其中的问题情境和数学运用是本节课中的教学环节。另外，学生是第一次接触周期函数概念，实际教学会遇到一定的难度。因此，笔者设计了如下的教学程序。

1. 创设学习情境，引导学生学习

①请学生列举出日常生活中含有“周期性”特点的事物（或具有周而复始的事物）。

教师向学生讲解“周而复始”的含义，即不断的循环往复。借助数学知识向学生讲解“周而复始”的含义，即其中的“周”是指转一圈，表明有一个处于不断变化的“量”，其中的复始是指重新开始，表明另一个“量”回到“前圈”对应的数值。由此可以发现，“量”的依存关系与“量”的变化有密切的关联，存在不变关系。

学生通常可以说出季节周期性变化和钟表周期性变化等含有“周而复始”特征的事物，这些事物均是学生日常可以接触到的，贴近生活，可以吸引学生参与到课堂学习中来。

②请同学们说出高中数学中含有“周而复始”特征的相关知识。

学生可以将生活与数学知识联系起来，认识到周期现象的变化规律，并说出正弦诱导公式、三角函数线表示三角函数值时均会有“周而复始”的特征。

（设计意图：生活中有关于周期概念的事物有很多，通过引导学生回顾并举例生活实例，可以确保学生感受到周期性现象。通过为学生创设问题情境，学生可以三角函数的周期性产生较大求知欲望，产生一种想要学习的心理倾向，保障课堂教学质量。）

1. 分析并理解周期函数的本质属性

请学生将所列举出的离子用函数关系式表达出来。

假设时钟第一圈某一个时刻所对应的量为（），则“加一圈”之后实际上是原有基础上加了一个不是0的常数T，则通过函数关系式这一“周而复始”的现象可以表达为（＋“一圈”）= （）。假设这个函数关系式对第一圈的任何可变量均成立，则表明将更换成之后，这个等式依然成立，即可以得到（＋T）= （）。

再一次引导学生将数学知识与生活事物联系起来，如果将班级卫生值日表应用到函数关系式，其中的T设定为星期一，即T=1，那么函数关系式依然适用。通过进一步对函数关系式进行提炼，可以知道自变量每间隔相同的一个不是0的常数T，函数的数值会重复出现。

1. 周期函数概念的形成

各位同学，通过之前的学习，我们已经知道当自变量每间隔相同的一个不是0的常数T时，函数的数值会重复出现，这种随着自变量变化函数值呈周期性变化的函数称之为周期函数，函数式中的非0常数是这个函数的周期，如果要用数学语言来对周期函数进行概括，则：如果一个存在非0常数T，可以确保定义域内的每一个自变量

均满足（＋T）= （），那么便可以称是周期函数，T是这个函数的周期。

（设计意图：鉴于概括是思维的第一特征，在数学思维中发挥着十分重要的作用，因而概括能力是数学教学中需要重点培养的能力之一^[³^]。笔者通过引导学生对周期函数的概念进行归纳，不仅有助于学生对周期函数有更好的理解，而且可以培养学生的概括能力，提升数学能力。）

引导学生对两点进行思考，①即函数公式中为什么对常数T有具体的要点，为什么常数T非零。②确保定义域中的每一个自变量均满足（＋T）= （），这句话中对定义域中的变量作了具体的规定，要求定义域中的变量均要满足等式，这与函数的奇偶性定义有较大的相似性，是对函数的整体要求。

练一练：

请学生判断以下的说法是否正确。

①当 = 时，，则函数的周期是。

②当，，则函数的周期是。

（设计意图：通过具体的练习题，向学生更深的揭示函数公式中的每一个符号所代表的意义，并通过函数的变式练习来增强学生对周期函数的理解。）

如何证明一个函数不是周期函数？

师：存在定义域内的某一个值x₀，使的。

（设计意图：紧抓定义中的关键字词设计反例，引导学生这些关键字词的必要性，加深对周期函数概念的理解。）

1. 最小正周期概念教学

对一个周期函数来说，如果所有周期中存在一个最小的正数，则_这个最小的正数是周期函数的最小正周期。在后续的函数知识学习中，如果没有出现特别的说明，均可以认定是指函数的最小正周期。通过对最小正周期概念的理解，可以得到正弦函数的自变量只需要并至少增加时，函数值可以重复取得正弦函数与余弦函数的最小正周期是2π。得到函数公式。对于三角函数的周期，可令y= 看作一个整体，则其周期同y=s 相同，为2π。是x在x方向上的伸缩变换，整体的周期为2π，所以f(x)周期为2π/ω。

1. 课堂练习深化

①请同学们求出下列函数的周期。a）；b）。

在求解a）的周期时，学生通常可以通过三种方式来求解。

方法1：对任意的余弦函数均成立，则函数的周期为2π。

方法2：可以使用换元方法进行求解。

方法3：对任意的余弦函数均成立，因而函数的周期为π。

对第一种解法来说，明显是不正确的，原因在于学生没有对周期函数的概念有深彻的理解，尤其是没有函数公式的本质有明确的理解。第三种解法虽然是正确的，但是忽略了一些基础性的求解过程，思维层次较高，一般的学生会存在理解上的误差与不足。第二种解法可以加深学生对周期函数的理解，帮助学生正确运用函数周期概念来解题。如果将u=2t，则余弦函数的周期问题可以转换为余弦函数的周期性问题。在长期的教学过程中，通过运用换元法求解复合函数问题通常可以起到事半功倍的效果，因而笔者在教学过程中注注重换元法的应用。