同构函数在解决高考压轴题中的应用

同构函数在解决高考压轴题中的应用

古晓赞

广东省梅州市五华县水寨中学   514400

摘 要：在近年来的高考题中，我们可以看到，利用同构思维来求解问题，已经成为高考的一个热门话题。本文从高考题出发，探索同构思维的起源，对同构思维在高考函数题的证明或求解中的巧妙运用进行了深入的探索，使同学们能够更好地了解并掌握同构思维的基本方法和基本的推理流程，为在其它地方如解析几何等应用提供思路。首先从一个具体的实例出发，谈到了如何利用同构法对同构函数模型进行了探索，由特殊到一般，由繁到简，以此来提高同学们的数学运算能力和逻辑推理能力。

关键词：同构函数；深度探究；高考压轴题；数学核心素养

引 言

怎样才能构建出一个同构函数呢？本文尝试着用双变量和指对混合这两类问题来进行分析，来探讨怎样构建同构函数，来提升学生的解题能力，掌握在高考数学中，一种解决函数压轴题的方法。

一、同构思想原理溯源

同构想的实质就是构造具有同样结构的函数，并通过函数的单调性，将函数值 之间的关系转换成两个变量的关系，这样就可以将复杂的问题变成简单的问题，化难为易。运用同构思想，需要掌握下面的几个重要的步骤：

1.寻找同构函数，通过平移、简化、形变等方法，寻找具有相同结构的函数；

2.对同质函数的单调性进行研究，主要采用直接方法和求导法；

3.将函数值 的关系转换成两个变量的关系，并通过对函数的单调性进行分析，得到了一些新的结论。

函数题和解析几何题是高考的压轴题，它们都很难，但是近年来，通过同构思想，有时可以很好地解决这些问题。

二、两个变量的对等状态

从2020年的高考中我们可以看到，新的高考更加重视对数学素养的考核，特别是对“创新思维”的要求。此类题目通常包含两个变量，通过对两个变量进行变形处理，可以把这两个变量分别移动到不等式或者等式的两边，从而构建出相同函数取两个不同变量时，函数值的大小问题，从而将其转换成函数的单一性问题。此类问题在高考中经常会出现，以下是一些例子。

例1（2020年全国Ⅰ卷12题）.如果，则（  ）.

A.    B.    C.   D.

解析条件等式的两侧的结构是相似的，构造函数，易得在定义域上是一个递增的函数，从选项中我们知道，我们只需要将和 进行对比，就可以知道和的大小。而 ，在利用的单调性可以得，所以选择 B。

例2.（2010年辽宁卷第21题）已知函数

(1）探讨函数的单调性；

(2）对于任何，若，若对，则有，求的取值范围。

解析：

（1）略去；

（2）证明的不等式含有绝对值，因此从（1）问题中可以得知，在时，是单调性递减的，因此，只要已知的大小，就可以去除绝对值。由于不等式两边都是关于的同构，所以可以把这个同构式构建为一个函数 ，从而把这个问题转换为一个参数的取值区域问题。

三、指对混合问题

在求解混杂不等式的时候，若采用参变量分离、隐零点替换等方式，将不可避免地产生繁杂的运算，且结果可能并不理想，而采用同构法则可获得出人意料的结果。

构造同构函数通常有三种基本模式：

三种同构型

（1）积型

同左边：，从而转化为研究函数

同右边，从而转化为研究函数

（2）商型

同左边：；同右边：

（3）和（差）型

从而转化为研究

同右边：，从而研究

例3：若不等式对任意成立，求实数的取值范围．

解析：因为对任意成立，

不等式可变形为：，

即，

即对任意成立，

记，所以，

所以在上单调递增，

则可写为：，

根据单调性可知，只需对任意成立即可，

即成立，记，即只需，

又由的单调性可得，，

所以只需即可，解得

例题4（2014新课标Ⅰ）.设函数,曲线在点处的切线方程为.

（1）求；（2）证明：

解析：

（1），具体的答案就略。

（2）对于这类问题，若对其进行直接导数，则过于繁琐，可考虑使用同构函数法。

从（1）可知， ，要证明，也就是证明。将该式子以同构法，将两侧同乘，并移项，得到，，，将拆开，得到同构式 ，进而就是要研究，左边是大于等于0的数，右边是小于等于0的数，而又不在同一个值时取得，故命题得证。

结束语

综上所述，从以上的实例中，我们可以看到，在数学中，同构是如此重要，以至于我们可以通过突破传统的思维方式，给我们新的想法、新的方法和新的视角来解决问题。通过学习同构，我们发现同构不仅提高了学生的思维能力和分析能力，而且还提高了他们的逻辑推理能力，培养学生的创新思维，这符合新高考下对学生数学核心素养的考查要求。

参考文献

[1]刘晨凡.浅谈新高考背景下的函数同构备考[J].考试周刊,2022(30):45-49.

[2]张春华.同构函数在解决高考压轴题中的应用[J].数理化解题研究,2021(10):42-43.