导数及其一些简单应用

导数及其一些简单应用

郑超

关键词：导数；简单归纳；数学；物理学；经济学；化学

作者简介：郑超，中教二级，任教于陕西省安康市岚皋中学。

1主要内容归纳

若在上连续，在内可导.则

（1）若对在上单调增加.

（2）若对在上单调减少.

表2极值与驻点的概念

极值与

极值点

若存在的某邻域，使对.恒有

（1），则称是的一个极大值.

（1），则称是的一个极小值.

驻点

导数为的点称为驻点.

必要条件

若在有极值，且存在.则.

第一充分条件

设在点的附近可导，在点连续且或不存在.则

（1）若.即当时，当时是极大值.

（2）若.即当时，当时是极小值.

（3）若在的左右两侧导数不变号不是极值点.

第二充分条件

设在点处具有二阶导数且，.则

（1）若是极大值.

（2）若是极小值.

表4函数的最值问题

闭区间上连续函数的最值

基本步骤：

（1）解方程，记根为.

（2）求得导数不存在的点.

（3）比较函数值，；，.以及端点的值，其中最大的为的最大值，最小的为的最小值.

设在区间上连续，如果对上任意两点.恒有

（1）则称在上的图形是凹的.

（2）则称在上的图形是凸的.

判别法

设在上连续，且在内二阶可导.则

（1）若在内上是凹的.

（2）若在内上是凸的.

若是曲线的拐点，且存在，则.判别法

若在的左右两侧改变正负号，则是曲线的拐点.

若在的左右两侧不变号，则不是曲线的拐点.

用显示方程表示的平面曲线

设平面曲线的方程为，.则曲线在点处的切线方程为，其中在处可导，在点处的法线方程为用参数方程表示的平面曲线

设平面曲线的参数方程为，..则曲线在点，处的切线方程为，法线方程为.其中在处可导且

2变化率的描述设有变量之间的函数关系

（1）差商：自变量从变到时随的平均变化率.

（2）微商（导数）：在处随的变化率.

（3）实际领域中的变化率：

实际领域

平均变化率

瞬时变化率

一根杆子从一端0算起，段杆的质量为

平均密度——单位长度杆的质量段杆的平均线密度是

线密度——杆在处的密度

总成本是产量的函数

平均成本——增加单位产量时成本的改变量.（产量从增加到时的平均成本是）

边际成本——产量在时的成本变化率

一单摆振动的周期是摆长的函数

平均增大系数——增加单位摆长时周期在单位时间内的改变量.（从摆长增加到摆长时周期的平均增大系数是）

周期增大系数——长度为时周期的增大系数

某化学反应中时刻时生成物的浓度为

平均反应速率——单位时间内生成物浓度的变化量.（时间内化学反应的平均反应速率是）

反应速率——该化学反应在时刻的反应速率是

参考文献：

[1]李正元.高等数学辅导[M].北京：国家行政学院出版社，2003.

[2]马志敏.高等数学辅导[M].广州：中山大学出版社，2003.

[3]周世武.浅谈“边际”及“弹性”两个概念[J].中专数学，1994(2).

作者单位：陕西省安康市岚皋中学

邮政编码：725400

DifferentialCoefficientDerivativeandItsGeneralApplication

ZhengChao

Abstract:Possibilitiesofderivativeapplicationareexaminedinthepaper.Itsuseinmathematics,physics,economicsandchemistryisdiscussedwithillustrationsgiven.

Keywords:derivative;generalinduction;math;physics;economics;chemistry